ケーリーは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜行列・ケーリー・ハミルトンの定理・ケーリーの公式

ケーリーは何をした人？（業績をひとことで）

アーサー・ケーリー（1821〜1895年）は、イギリスの数学者です（日本語では「ケイリー」と書かれることもあります）。行列の計算のきまりを整えて行列論の土台を作り、群の考えを広め（ケーリー表・ケーリーの定理）、n個の点に番号をつけた木は $n^{n-2}$ 通りというケーリーの公式を示しました。生涯に900本以上の論文を書いた、数学史でもトップクラスの「書く人」です。

大学入試でケーリーの名前に出会うのは、ケーリー・ハミルトンの定理（2次正方行列）です。かつて高校の数学Cで習った行列の問題では、この定理を使って $A^n$ を求める問題が、難関大学でよく出ました。ケーリーは、行列とは何かの計算のルールを、いまの形に整えた人でもあります。

ケーリーの生涯と年表

ロシアで育った少年、ケンブリッジの首席に

ケーリーは1821年8月16日、イギリスのリッチモンド（サリー州）で生まれました。父はロシアのサンクトペテルブルクで貿易商をしており、ケーリーは最初の7年間をロシアですごしたと記録されています。その後イギリスにもどって学校で学び、数学の才能がすぐに注目されました。

1838年、17歳でケンブリッジ大学トリニティ・カレッジに入学します。1842年の卒業試験では、数学で首席のシニア・ラングラーとなり、賞金つきのスミス賞も最初にとりました。その後4年間は大学のフェロー（研究員）として働き、そのあいだに『ケンブリッジ数学雑誌』に28本の論文を発表しました。

弁護士になる――でも数学はやめない

当時のイギリスの大学では、研究員でいつづけるのに制約が多かったとされます。ケーリーは大学に残る道を選ばず、1846年に法律の勉強を始め、1849年5月3日に法廷弁護士の資格を得ました。それから約14年間、ロンドンで弁護士として働きます。ところがそのあいだも、数学の研究をやめるどころか、約250本もの論文を発表しました。弁護士の仕事の合間に、また別の弁護士でもあった数学者シルヴェスターと親しくなり、いっしょに不変式論などを研究したと伝えられています。

1863年、ケンブリッジの教授に

1863年、ケーリーはケンブリッジ大学のサドラー純粋数学教授に選ばれました。収入は弁護士時代よりずっと少なくなりましたが、ケーリーは喜んで数学に専念する道を選びました。同じ年の9月8日には、スザンナ・モリーンと結婚しています。その後は亡くなるまでケンブリッジで教え、研究を続けました。

栄誉と晩年

1868〜1870年にロンドン数学会の会長、1882年にはイギリス王立協会のコプリー・メダルを受け、1883年にはイギリス科学振興協会の会長にもなりました。1884年にはド・モルガン・メダルも受けています。1895年1月26日、ケンブリッジの自宅で亡くなりました（73歳）。月面のクレーターに「ケーリー」の名前がつけられています。

ケーリーの主な業績をやさしく解説

ケーリーの名前がつく公式・定理・用語

• ケーリー・ハミルトンの定理：$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$。→ ケーリー・ハミルトンの定理の証明と使い方
• ケーリーの公式：番号つきの木は $n^{n-2}$ 通り。
• ケーリー表：群の要素どうしの組み合わせを表にしたもの。
• ケーリーの定理：どんな群も、置換の群の一部になる。
• ケーリー変換：直交行列と、ある種の行列を結びつける変換。大学の線形代数で出てきます。
• ケーリー数（八元数）：8つ組の数。かけ算の順番だけでなく、結合法則も成り立たなくなります。
• ケーリー・クラインの幾何：距離を射影幾何の中に取り入れる考え方。のちのクラインのエルランゲン・プログラムにつながります。
• ケーリー・メンガーの行列式：点どうしの距離から、できる図形の体積を求める式。

ケーリーの逸話と名言

弁護士にして、900本の論文

ケーリーの最大の逸話は、弁護士の仕事をしながら約250本の論文を書いたことでしょう。その後ケンブリッジに移ってからも書きつづけ、生涯の論文・ノートは900本以上になりました。1853〜1856年は年に約10本、1857〜1860年は年に約30本を書いたと、数学史の資料に記録されています。論文は『ケーリー数学論文集』全13巻にまとめられました。

シルヴェスターとの友情

同じころ法律の仕事をしていたジェームス・ジョゼフ・シルヴェスターとは、ロンドンの法曹院で知り合い、毎日のように数学の話をしたと伝えられています。2人はこの時期の共同研究で、不変式論という新しい分野を切りひらきました。ケーリーが論文を整えて書き、シルヴェスターが新しい言葉（「行列（マトリックス）」という名前もシルヴェスターの命名とされます）を考える、というように役割を分けたともいわれます。

四元数を「ポケットの地図」にたとえた

ケーリーは四元数を、ポケットに入れて持ち歩く折りたたみ地図にたとえたと、数学史の資料（MacTutor）に紹介されています。地図には何もかも描かれているが、広げて別の形にしないと理解できない、という意味のたとえです（ケーリー本人の文章そのままではなく、資料による紹介です）。同じ時代のハミルトンのアイデアを、行列とのつながりの中で見ていたことが分かるエピソードです。

受験・勉強とケーリーのつながり

中学受験・高校受験：場合の数と「もれなく数える」

ケーリーの公式のもとにある「点と線の図（グラフ）を数える」考え方は、中学受験・高校受験の「場合の数」に通じています。たとえば、点が3つの木が3通り、4つで16通りという数え方は、場合の数・樹形図のかき方の基本です。樹形図と数え上げ（もれなく重なりなく）で練習しておくと、あとで大学のグラフ理論を学ぶときに助けになります。

大学受験：行列の問題とケーリー・ハミルトン

ケーリーの名前が大学入試に出てくるのは、行列の問題です。かつて数学Cで行列を習っていた時代、ケーリー・ハミルトンの定理は難関大学の入試の定番の道具でした。次のような問題で使われます。

• $A^n$ を求める問題：定理を使って $A^2=\cdots$ の形に直し、漸化式の解き方に持ちこんで解く。
• $A^2=A$ や $A^2=O$ となる行列を求める問題。
• 行列 $A$ の逆行列を求める問題：定理から $A^{-1}$ を $A$ と $E$ で書く。

現在の高校の学習指導要領では、行列は必修ではなく、大学の線形代数で最初に習う内容です。それでも、行列の対角化と A^n・連立1次方程式と階数（ランク）など、理系の大学入試・編入試験・大学院入試では、ケーリーの築いた行列の世界がそのまま問われます。京都大学などの入試では京大理系数学の出題分析も参考になります。

入試によく出る行列の問題の型

行列の問題には、いくつかの決まった型があります。ひとつめは、$A^n$ を推測して数学的帰納法で証明する型です。$A^2,A^3$ を実際に計算して規則を見つけ、数学的帰納法で示します。ふたつめは、ケーリー・ハミルトンの定理から$A^2=pA+qE$ の形を作って漸化式にする型です。$A^n=x_nA+y_nE$ とおいて、$x_n,y_n$ の漸化式を作ります。みっつめは、行列の対角化と A^n の求め方を使う型で、固有値と固有ベクトルから $A^n$ を一気に求めます。どの型でも、まずは2×2の小さい行列で、計算の流れを自分の手でなぞるのが近道です。

ケーリーの時代の数学――手計算で世界を広げた人

ケーリーが活躍した19世紀には、コンピュータも電卓もありませんでした。あらゆる計算が、ペンと紙で行われていました。ケーリーは何十ページにもわたる式変形を、根気よく書きつづけた人です。たとえば不変式論では、6次や8次の多項式の不変式を、何日もかけて手で計算したと伝えられます。こうした手計算の積み重ねのうえに、のちにヒルベルトの業績と生涯が、不変式についての有限性定理を示しました（1888〜1890年ごろ）。いまはコンピュータが計算してくれますが、手で計算して構造を見抜く力は、数学の根っこにあります。受験でも、途中の式を省かずていねいに書く人のほうが、ミスに気づいて直すことができます。ケーリーのように「書きつづける」ことが、いちばんの上達法です。

勉強法として：計算の「型」を作る

ケーリーの論文は、計算をていねいに書き出す「型」の積み重ねでした。行列も群も、はじめは計算のきまりを覚えることがすべてです。小さい例（2×2の行列や、4つの要素の表）で手を動かして、型を体に覚えさせてから、大きな問題に進みましょう。勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）にもあります。

ケーリーがその後の数学にあたえた影響

• 線形代数：行列は、画像の拡大・縮小・回転、ゲームの3D表示、検索エンジンの順位づけ、連立方程式・図形の変換・データ分析・機械学習まで、現代の数学と科学の最も大切な道具になりました。AIの計算の中身は、ほとんどが巨大な行列のかけ算です。
• 群論・抽象代数：ケーリー表と置換群による群の理解は、ガロアの群論・リーの連続群・クラインらの群論の発展を支えました。
• グラフ理論・組合せ論：木の数え上げは、ネットワーク、インターネットの経路探索、化学の分子構造の分類にまで使われています。
• 幾何学：n次元の幾何学、射影幾何学とのつながり（ケーリー・クラインの幾何）は、リーマンの幾何学や、のちの相対性理論の数学的な背景につながります。
• 数学者の働き方：弁護士と数学者を両立した姿は、「数学は職業とは別に続けられる」ことを示す例として、いまも紹介されます。

ケーリーに挑戦！練習問題

ケーリーと関係する数学者

• ハミルトン（ケーリー・ハミルトンの定理・四元数）：同じ時代に、かけ算の順番が大事な数を作りました。
• ガロア（群論のはじまり）：ケーリーが抽象的な群の考えを整える土台を作りました。
• ガウス（ガウスの消去法）：連立方程式の解き方は、行列の計算の基礎になりました。
• クライン（ケーリー・クライン幾何）：ケーリーの射影幾何の考えを発展させました。
• リー（リー群）：群と連続的な変換の理論を作った数学者です。
• オイラー（グラフ理論のはじまり）：ケーリーの木の数え上げにつながるグラフ理論の先がけです。

ケーリーの仕事は、行列・群・グラフという、現代の数学の3本柱につながっています。どれも、この先の大学の数学で必ず出会う言葉です。数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、用語は数学用語辞典（高校数学の言葉）、記号の意味は数学でよく使う記号の意味一覧（Σ・∫・≡）もどうぞ。

19世紀の数学者

• ソフィ・ジェルマンの業績と生涯
  フェルマーの最終定理の研究（ジェルマン素数）。男性の名前で論文を送った
• ガウスの業績と生涯
  1から100までの和を一瞬で出した少年。正十七角形の作図・『整数論』・最小二乗法。「数学の王」
• 和田寧の業績と生涯
  江戸時代の和算家。積分にあたる「円理表」で曲線の面積・長さを計算
• コーシーの業績と生涯
  極限を使って微分積分を厳密にした。コーシー・シュワルツの不等式
• メビウスの業績と生涯
  裏と表がない「メビウスの帯」
• ロバチェフスキーの業績と生涯
  平行線の公理が成り立たない「非ユークリッド幾何学」
• アーベルの業績と生涯
  5次方程式には解の公式がないことを証明。アーベル賞の名前のもと
• ボーヤイの業績と生涯
  ロバチェフスキーと別に非ユークリッド幾何学を発見
• ヤコビの業績と生涯
  楕円関数・ヤコビアン（変数変換）
• ディリクレの業績と生涯
  鳩の巣原理（ディリクレの部屋割り論法）・算術級数定理
• ハミルトンの業績と生涯
  四元数を発見。ケーリー・ハミルトンの定理
• クンマーの業績と生涯
  「理想数」を考え、正則素数の指数でフェルマーの最終定理を証明した

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

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• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
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