オイラーの多面体定理 V−E+F=2｜なぜ2になるかの証明・正多面体の頂点と辺の数え方・サッカーボールの例題【中学受験〜大学受験】

うかるくん

どんな多面体でも、$V-E+F$ はいつも2になるの？

合格先生

へこみのない多面体ならそうだ。平らにのばして三角形を1つずつ取っても、値は変わらないからだ。

オイラーの多面体定理

へこみのない多面体（凸多面体）では、頂点の数 $V$、辺の数 $E$、面の数 $F$ の間に、いつも次の関係が成り立ちます。18世紀の数学者オイラーが示したことからこう呼ばれます。

なぜいつも 2 になるのか（証明のあらすじ）

1. 多面体の面を1つ取りのぞき、残りを平らにのばします（図）。頂点と辺の数は変わらず、面は1つ減るので、平面の図で $V-E+F=1$ を示せばよいことになります。
2. 四角形などの面に対角線を1本足すと、辺が1本・面が1つ増えるので $V-E+F$ は変わりません。こうしてすべての面を三角形にします。
3. 外側から三角形を1つずつ取りのぞきます。辺1本と面1つを取る（$-1+1=0$）か、頂点1つ・辺2本・面1つを取る（$-1+2-1=0$）ので、やはり $V-E+F$ は変わりません。
4. 最後に三角形が1つ残ると $3-3+1=1$。取りのぞいた面をもどして $+1$、よって $V-E+F=2$。

中学受験では、面の形から辺と頂点の数を数える方法がよく使われます：辺＝（面の辺の合計）÷2（1本の辺を2つの面で共有）、頂点＝（面の頂点の合計）÷（1つの頂点に集まる面の数）。

中学受験（算数）での使い方

大学受験での使い方

よくある間違い

合格先生

穴のある立体には使えない。ドーナツ形なら $V-E+F=0$ になるぞ。

• 辺を数えすぎる：面ごとに数えた辺は2回ずつ数えている（÷2）。
• へこみや穴がある立体に使う：ドーナツ形（穴が1つ）では $V-E+F=0$ になる。

練習問題

合格先生

辺は面ごとに数えて÷2だ。1本を2つの面で共有しているぞ。

1. 中学受験 三角柱の頂点・辺・面の数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   頂点6、辺9、面5（$6-9+5=2$）
2. 中学受験 正二十面体（正三角形20枚、1つの頂点に5枚）の辺と頂点の数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   辺 $60\div2=30$、頂点 $60\div5=12$
3. 中学受験 面が8、辺が18の凸多面体の頂点の数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $V=2+E-F=2+18-8=12$。答え $12$

関連する公式

• 多角形の内角の和（正多面体が5種類の理由）
• 球の体積と表面積
• 円錐・角錐の体積
• 三角形の相似条件
• 立体の切断
• オイラーの公式
• オイラー線と九点円

この公式が出てくる合格大作戦の記事

• プラトン数（12960000）と216
  正十二面体・正二十面体など、正多面体と数の話

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）