球の体積と表面積の公式｜4/3πr³・4πr² の証明（アルキメデス・積分）と覚え方、例題【高校受験〜大学受験】

うかるくん

球の体積と表面積、どっちが $r^3$ だったか混ざっちゃうよ。

合格先生

体積は3次元だから $r^3$、表面積は2次元だから $r^2$ だ。次元で見分けよう。

球の体積と表面積の公式

半径が2倍になると、表面積は $2^2=4$ 倍、体積は $2^3=8$ 倍です（相似比と面積比・体積比の関係）。

アルキメデスの発見：円錐・球・円柱は 1：2：3

古代ギリシャのアルキメデスは、球の体積が、球がぴったり入る円柱の体積の $\dfrac{2}{3}$ であることを示しました。円柱の体積は $\pi r^2\times2r=2\pi r^3$ なので、球は $2\pi r^3\times\dfrac23=\dfrac43\pi r^3$。円錐は円柱の $\dfrac13$ なので $\dfrac23\pi r^3$。3つを並べると $\dfrac23:\dfrac43:2=1:2:3$ になります。アルキメデスはこの発見をとても誇りにし、墓に「円柱に内接する球」の図をきざむよう望んだと伝えられています。表面積も、円柱の側面積 $2\pi r\times2r=4\pi r^2$ と等しくなります。

証明1：積分で体積を求める（数学Ⅲ）

球を中心から $x$ の位置で輪切りにすると、切り口は半径 $\sqrt{r^2-x^2}$ の円（三平方の定理）で、面積は $\pi(r^2-x^2)$。これを $x=-r$ から $r$ まで積分します。

証明2：体積から表面積を出す（とがった錐の集まり）

球の表面を細かい小さな面に分け、それぞれの面と中心を結ぶと、高さ $r$ のとがった錐がたくさんできます。錐の体積は「底面積×高さ÷3」なので、全部足すと

また、体積 $V(r)=\dfrac43\pi r^3$ を $r$ で微分すると $V'(r)=4\pi r^2=S$。半径を少しだけ増やしたときに増える体積は「表面積×厚さ」だからです。

高校受験（中学1年）での使い方

球の体積と表面積は中学1年で学びます。高校入試では、半球・円柱や円錐との組み合わせ、球が円柱や立方体にぴったり入る問題がよく出ます。

大学受験での使い方

数学Ⅲの積分では、上の証明のように断面積を積分して体積を求める方法を学びます。球の一部（球欠）や、回転体の体積の問題の基本です。

よくある間違い

合格先生

半球の表面積で平らな面を忘れるのは×だ。曲面 $2\pi r^2$ に円 $\pi r^2$ を足すぞ。

• 体積と表面積の取りちがえ：体積は $r^3$（3次元）、表面積は $r^2$（2次元）。
• 半球の表面積で平らな面を忘れる：曲面 $2\pi r^2$ ＋ 円 $\pi r^2$。
• 直径を半径として入れる：直径 $6$ なら半径は $3$。

練習問題

サクラちゃん

円錐：球：円柱＝1：2：3、きれいだね！

1. 高校受験 直径 $12$ cm の球の体積を求めなさい。
   答えと解説を見る

   半径 $6$。$\dfrac43\pi\times216=288\pi$。答え $288\pi\text{ cm}^3$
2. 高校受験 表面積が $100\pi\text{ cm}^2$ の球の半径を求めなさい。
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   $4\pi r^2=100\pi$ より $r^2=25$、$r=5$。答え $5$ cm
3. 大学受験 半径を $10\%$ 大きくすると、球の体積は何％大きくなりますか。
   答えと解説を見る

   $1.1^3=1.331$。答え 約 $33.1\%$

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よくある質問

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