円の面積と円周の長さの公式｜πr²・2πr（半径×半径×3.14）になる理由と例題【中学受験〜大学受験】

円の面積と円周の長さの公式

円周率とは

どんな大きさの円でも、円周の長さは直径のおよそ3.14倍です。この「円周÷直径」の値を円周率といい、ギリシャ文字 $\pi$（パイ）で表します。

$$\pi=\frac{\text{円周}}{\text{直径}}=3.14159265358979\cdots$$

円周率は小数点以下がどこまでも続き、くり返しもない数（無理数）です。だから円周の公式は、円周率の決め方（定義）そのものから「円周＝直径×円周率＝$2r\times\pi$」となります。

円の面積が πr² になる理由

円をピザのように細かいおうぎ形に切り、上向き・下向きを交互に並べかえます。切る数を増やすほど、並べた形は長方形に近づきます。

その長方形のたては半径 $r$、横は円周の半分 $\pi r$ です。だから面積は

$$\pi r\times r=\pi r^2$$

小学6年の教科書でも、この「切って並べかえる」考え方で円の面積を学びます。

アルキメデスと円周率

古代ギリシャのアルキメデスは、円の内側と外側にぴったり接する正96角形の周の長さを計算して、円周率が

$$3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}\qquad(3.1408\cdots<\pi<3.1428\cdots)$$

の間にあることを示しました。「多角形で円をはさむ」というこの考え方は、下の大学入試の問題でもそのまま使えます。3月14日は「円周率の日」とされています。

中学受験（算数）での使い方

円周は小学5年、円の面積は小学6年で習います。中学受験では、円・おうぎ形を組み合わせた図形の面積や周の長さが毎年のように出ます。3.14のかけ算が多くなるので、「3.14でまとめてから最後に1回だけかける」のが計算ミスを減らすコツです。

よく使う3.14の段（$3.14\times2=6.28$、$\times3=9.42$、$\times4=12.56$ … $\times9=28.26$）や、$3.14\times16=50.24$、$\times25=78.5$、$\times36=113.04$ を覚えておくと速く解けます。

高校受験（中学数学）での使い方

中学1年からは円周率を $\pi$ で表し、答えも $\pi$ のまま書きます。中心角 $x^\circ$ のおうぎ形は、円の $\dfrac{x}{360}$ と考えます。

$$\text{弧の長さ}=2\pi r\times\frac{x}{360}\qquad\text{おうぎ形の面積}=\pi r^2\times\frac{x}{360}=\frac{1}{2}\ell r$$

大学受験での使い方

高校では角を弧度法（ラジアン）で表し、$180^\circ=\pi$ とします。すると、中心角 $\theta$ のおうぎ形は

$$\ell=r\theta,\qquad S=\frac{1}{2}r^2\theta$$

と簡単な式になります。また、数学Ⅲの積分を使うと、円の面積が $\pi r^2$ であることを計算で確かめられます。

$$4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx=4\times\frac{\pi r^2}{4}=\pi r^2$$

よくある間違い

• 半径と直径の取りちがえ：面積は「半径×半径」。直径 $10$ の円の面積は $5\times5\times3.14$ です。
• 円周の「直径×3.14」を「半径×3.14」にする：半径を使うなら $2\times$ 半径 $\times3.14$ です。
• おうぎ形のまわりの長さで半径2本を忘れる：周の長さ＝弧＋半径×2。

練習問題

1. 中学受験 直径 $8\text{ cm}$ の円の円周の長さを求めなさい。
   答えと解説を見る

   $8\times3.14=25.12$。答え $25.12\text{ cm}$
2. 中学受験 円周の長さが $31.4\text{ cm}$ の円の面積を求めなさい。
   答えと解説を見る

   直径は $31.4\div3.14=10$、半径は $5$。面積は $5\times5\times3.14=78.5$。答え $78.5\text{ cm}^2$
3. 高校受験 円の半径を2倍にすると、面積は何倍になりますか。
   答えと解説を見る

   面積は $\pi r^2$ で、半径を $2r$ にすると $\pi(2r)^2=4\pi r^2$。答え $4$ 倍

関連する公式

• 三平方の定理
• 等差数列の和の公式
• おうぎ形の面積と弧の長さ
• 球の体積と表面積
• 円錐の体積と表面積
• 円の方程式
• 図形の移動と転がる円
• 立体の表面積
• 3.14の計算のくふう
• 葉っぱ形の面積

この公式が出てくる合格大作戦の記事

• 【算数の問題】暗算でできる？円周率を使わずに求める面積（半径5cmの円が4つ）
  円の面積の公式を使うと、円周率の部分が打ち消し合うことが分かる問題
• 解けたら東大！？シンプルだけど難しい数学の問題
  「円周率を使わずに解けたら東大も夢ではない」と話題になった算数の問題
• 数学でよく使う記号・アルファベットの意味一覧｜ギリシャ文字24文字の読み方
  円周率 π（パイ）をはじめ、数学で使うギリシャ文字の読み方

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）
• 【算数の問題】暗算でできる？円周率を使わずに求める面積（半径5cmの円が4つ）