円の方程式｜(x−a)²+(y−b)²=r² の導き方・一般形から中心と半径・接線の公式と例題【大学受験 数学Ⅱ】

円の方程式

なぜこの式になるのか（三平方の定理）

円とは「中心からの距離が一定 $r$ の点の集まり」です。点 P$(x,\ y)$ と中心 $(a,\ b)$ の距離は、横 $x-a$、たて $y-b$ の直角三角形の斜辺なので、三平方の定理より $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$。これが $r$ に等しいという条件を2乗したものが円の方程式です。

$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\iff(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

一般形から中心と半径を読む（平方完成）

$x^2+y^2+lx+my+n=0$ は、$x$ と $y$ それぞれで平方完成すると中心と半径が分かります。

$$\left(x+\frac l2\right)^2+\left(y+\frac m2\right)^2=\frac{l^2+m^2-4n}{4}$$

右辺が正なら円、0なら1点、負なら図形なし。

円と直線の位置関係

距離 $d$ は点と直線の距離の公式で求めます。円と直線の式を連立して判別式を使う方法もあります。

接線の公式

円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_1,\ y_1)$ における接線は $x_1x+y_1y=r^2$。理由：接線は半径 $(x_1,\ y_1)$ に垂直なので、接線上の点 $(x,\ y)$ について $(x_1,\ y_1)\cdot(x-x_1,\ y-y_1)=0$（内積が0）。展開して $x_1^2+y_1^2=r^2$ を使うと得られます。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

• 中心の符号：$(x-3)^2+(y+2)^2$ の中心は $(3,\ -2)$。
• 半径を $r^2$ のまま答える：右辺が16なら半径は4。
• 平方完成で足した分を引き忘れる。

練習問題

1. 大学受験 中心 $(-1,\ 2)$、半径 $3$ の円の方程式を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $(x+1)^2+(y-2)^2=9$
2. 大学受験 中心 $(2,\ 3)$ で原点を通る円の方程式を求めなさい。
   答えと解説を見る

   半径は $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。答え $(x-2)^2+(y-3)^2=13$
3. 大学受験 円 $(x-1)^2+y^2=4$ と直線 $y=x+k$ が接するような $k$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   中心 $(1,\ 0)$ と $x-y+k=0$ の距離 $\dfrac{|1+k|}{\sqrt2}=2$。$k=-1\pm2\sqrt2$。

関連する公式

• 三平方の定理（2点間の距離）
• 点と直線の距離
• 平方完成
• 円の面積と円周の長さ
• 方べきの定理
• 位置ベクトル（内分点の公式）
• ベクトルの成分と大きさ
• 接線の方程式
• 円と直線の位置関係
• 軌跡と領域
• 2次曲線（楕円・双曲線・放物線）

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）