方べきの定理｜PA・PB=PC・PD・PA・PB=PT² の証明（相似）と3つの型・逆、例題【大学受験 数学A】

うかるくん

点 P が円の外にあるとき、PB はどこまでの長さなの？

合格先生

P から遠い方の交点までだ。$PA\cdot PB$ は、P から2つの交点までの長さの積だぞ。

方べきの定理

点 P を通る2本の直線が円と交わるとき、P から交点までの長さの積は、直線の引き方によらず一定です。

証明：相似な三角形を作る

① 円の内部の場合

A と C、D と B を結びます。$\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ で、

• $\angle APC=\angle DPB$（対頂角）
• $\angle PAC=\angle PDB$（どちらも弧 BC に対する円周角）

2組の角が等しいので $\triangle PAC\sim\triangle PDB$。対応する辺の比から $\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{PC}{PB}$、つまり $PA\cdot PB=PC\cdot PD$。

② 外部の点の場合

$\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ で、$\angle P$ は共通、$\angle PAC=\angle PDB$（円に内接する四角形 ABDC の外角は、向かい合う内角に等しい）。同じく相似なので $PA\cdot PB=PC\cdot PD$。

③ 接線の場合

割線 PCD の C と D が近づいて1点 T になったのが接線です。②で $C=D=T$ とすると $PA\cdot PB=PT^2$。（正確には $\triangle PTA\sim\triangle PBT$ を、接弦定理 $\angle PTA=\angle PBT$ を使って示します）

本質：「点 P から見た円の"大きさ"」が一定ということ。中心 O、半径 $r$ とすると、どの場合も $PA\cdot PB=|OP^2-r^2|$ になります（これを P の「方べき」と呼びます）。

方べきの定理の逆

2つの線分 AB、CD（またはその延長）が点 P で交わり、$PA\cdot PB=PC\cdot PD$ なら、4点 A、B、C、D は同じ円周上にあります。

大学受験（数学A）での使い方

よくある間違い

合格先生

接線のとき、$PT$ を2乗し忘れる。$PA\cdot PB=PT^2$ だ。

• 外部の点で、線分の一部だけをかける：PB は「P から遠い方の交点まで」の長さ（PA＋AB）。
• 接線で $PT$ を2乗し忘れる。

練習問題

サクラちゃん

証明は、円周角で相似な三角形を作るのね。

1. 大学受験 円の外部の点 P から2本の割線を引き、PA＝3、PB＝8、PC＝4 のとき PD を求めなさい。
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   $3\times8=4\times PD$、$PD=6$。答え $6$
2. 大学受験 点 P から円に引いた接線の長さが 6、割線 PAB で PA＝3 のとき、AB を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $36=3\times PB$、$PB=12$、$AB=9$。答え $9$

関連する公式

• 円周角の定理
• 接弦定理
• 相似比と面積比
• 円の方程式
• 三角形の相似条件
• 接線の長さ
• 4点が同一円周上

よくある質問

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