接弦定理｜接線と弦のつくる角＝円周角になる証明（直径と直角）と相似・方べきへの応用例題【高校受験〜大学受験】

接弦定理｜接線と弦のつくる角＝円周角になる証明（直径と直角）と相似・方べきへの応用例題【高校受験〜大学受験】

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高校受験大学受験

∠TAB=∠ACB\angle TAB=\angle ACB

AT は接線、A は接点

この公式のポイント

  • 接線と弦の角＝その内側の弧に対する円周角
  • 証明：接点を通る直径を引き、「接線⊥半径」と「直径の円周角＝90°」を使う
  • 円周角の定理で、点が接点に近づいた形
  • 方べきの定理（接線の場合）の証明に使う
うかるくん

うかるくん

接線と弦がつくる角は、どの弧の円周角と等しくなるの？

合格先生

合格先生

その角の内側にある弧に対する円周角だ。直径を引いて、直角を2回使うと証明できるぞ。

接弦定理とは

ABCTθθ
接線 AT と弦 AB のつくる角（赤）は、弧 AB に対する円周角 ∠ACB\angle ACB に等しい

接弦定理

円の接線と、接点を通る弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。

∠TAB=∠ACB\angle TAB=\angle ACB

「接線」と「弦」の角なので接弦定理。円周角の定理の、C が A に限りなく近づいた極限の形ともいえます。

証明：直径を引いて直角を使う

∠TAB\angle TAB が鋭角の場合で証明します。A を通る直径 AD を引きます。

θθθOADBCT
直径 AD を引くと ∠TAD=90∘\angle TAD=90^\circ、∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ。そこから ∠TAB=∠ADB=∠ACB\angle TAB=\angle ADB=\angle ACB（赤の θ\theta）
  • 接線は接点を通る半径に垂直なので ∠TAD=90∘\angle TAD=90^\circ。よって ∠TAB=90∘−∠BAD\angle TAB=90^\circ-\angle BAD。
  • AD は直径なので ∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ（直径の円周角）。三角形 ABD で ∠ADB=90∘−∠BAD\angle ADB=90^\circ-\angle BAD。

よって ∠TAB=∠ADB\angle TAB=\angle ADB。さらに ∠ADB\angle ADB と ∠ACB\angle ACB は同じ弧 AB に対する円周角なので等しく、∠TAB=∠ACB\angle TAB=\angle ACB です。∠TAB\angle TAB が直角・鈍角の場合も、直径や内接四角形の性質を使って同じ結論になります。

高校受験でも

中学の教科書では発展的な内容ですが、円と接線の角度の問題でよく使われます。説明が必要な問題では、上の証明（直径を引いて直角を2回使う）で示せるようにしておくと安心です。

高校受験

例題1（角度）

円に接する直線 ℓ の接点を A とし、円周上に B、C をとります。ℓ と弦 AB のなす角が 65∘65^\circ のとき、弧 AB に対する円周角 ∠ACB\angle ACB を求めなさい（C は角の外側の弧の上）。

解き方

接弦定理より ∠ACB=65∘\angle ACB=65^\circ。

答え　65∘65^\circ

大学受験（数学A）での使い方

接弦定理は、方べきの定理の接線の場合（PA⋅PB=PT2PA\cdot PB=PT^2）の証明や、相似な三角形を見つけるときに使います。

大学受験

例題2（相似）

円外の点 P から接線 PT（T は接点）と割線 PAB を引きます。△PTA∼△PBT\triangle PTA\sim\triangle PBT を示し、PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB を導きなさい。

解き方

∠P\angle P は共通。接弦定理より ∠PTA=∠TBA=∠PBT\angle PTA=\angle TBA=\angle PBT。

2組の角が等しいので相似。PTPB=PAPT\dfrac{PT}{PB}=\dfrac{PA}{PT} より PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB。

答え　（証明のとおり）

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

接線でない直線に使ってはいけない。接点で接していることが条件だ。

  • どの弧の円周角かを取りちがえる：接線と弦の角の「内側」にある弧に対する円周角。
  • 接線でない直線に使う：接点で接していることが条件。

練習問題

○の札を持つうかるくん

うかるくん

円周角の定理の仲間だと思えば覚えやすいね。

  1. 高校受験 接線と弦 AB のなす角が 40∘40^\circ のとき、弧 AB に対する中心角を求めなさい。
    答えと解説を見る円周角は 40∘40^\circ、中心角はその2倍。答え 80∘80^\circ
  2. 大学受験 三角形 ABC の外接円の点 A における接線と辺 AB のなす角が 50∘50^\circ、∠B=70∘\angle B=70^\circ のとき、∠A\angle A を求めなさい。
    答えと解説を見る接弦定理より ∠C=50∘\angle C=50^\circ。∠A=180−70−50=60\angle A=180-70-50=60。答え 60∘60^\circ

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よくある質問

接弦定理とは？

円の接線と接点を通る弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しいという定理です。

接弦定理はどう証明しますか？

接点を通る直径を引くと、接線と半径が垂直であることと直径の円周角が90°であることから、接線と弦の角が円周角に等しいことが示せます。

接弦定理は何年生で習いますか？

中学では発展的な内容で、高校の数学A「図形の性質」で正式に学びます。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学A（図形の性質）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦