円周角の定理｜円周角は中心角の半分になる証明・逆・直径と90°・内接四角形と例題【高校受験〜大学受験】

円周角の定理｜円周角は中心角の半分になる証明・逆・直径と90°・内接四角形と例題【高校受験〜大学受験】

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高校受験大学受験

∠APB=12∠AOB\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB

円周角＝中心角の半分　同じ弧の円周角は等しい　直径の円周角は 90∘90^\circ

この公式のポイント

  • 円周角＝中心角の半分
  • 同じ弧に対する円周角は、どこにとっても等しい
  • 直径に対する円周角は 90∘90^\circ
  • 証明のカギは、半径2本でできる二等辺三角形と外角の性質
うかるくん

うかるくん

円周角って、中心角の2倍だっけ？それとも半分だっけ？

合格先生

合格先生

半分だ。直径をひくと二等辺三角形が2つできる。外角を使えば、中心角が2倍と分かるぞ。

円周角の定理とは

円周上の2点 A、B と、それ以外の円周上の点 P をとったとき、∠APB\angle APB を弧 AB に対する円周角、中心 O との角 ∠AOB\angle AOB を中心角といいます。

ABPO円周角中心角弧 AB
弧 AB に対する円周角 ∠APB\angle APB（青）と中心角 ∠AOB\angle AOB（緑）

円周角の定理

  1. 1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分：∠APB=12∠AOB\angle APB=\dfrac{1}{2}\angle AOB
  2. 同じ弧に対する円周角は、P をどこにとってもすべて等しい
  3. 特に、直径に対する円周角は 90∘90^\circ（半円の弧の円周角）

証明：二等辺三角形を2つ使う

中心 O が ∠APB\angle APB の内側にある場合で証明します。P から中心 O を通る直径 PC を引きます。

ABPCO
青と橙の三角形は、どちらも2辺が半径なので二等辺三角形

△OPA\triangle OPA は OP=OAOP=OA（どちらも半径）の二等辺三角形なので、∠OPA=∠OAP\angle OPA=\angle OAP。三角形の外角の性質から、

∠AOC=∠OPA+∠OAP=2∠OPA\angle AOC=\angle OPA+\angle OAP=2\angle OPA

同じように △OPB\triangle OPB でも ∠BOC=2∠OPB\angle BOC=2\angle OPB。2つを足すと、

∠AOB=∠AOC+∠BOC=2(∠OPA+∠OPB)=2∠APB\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=2(\angle OPA+\angle OPB)=2\angle APB

よって ∠APB=12∠AOB\angle APB=\dfrac{1}{2}\angle AOB です。中心 O が ∠APB\angle APB の辺の上にある場合・外にある場合も、同じ直径 PC を使って、足し算を引き算にかえれば証明できます（3つの場合分け）。

中心角 ∠AOB\angle AOB は P の位置に関係なく決まるので、その半分である円周角も、P をどこにとっても同じです（定理の2）。弧 AB が半円なら中心角は 180∘180^\circ なので、円周角は 90∘90^\circ（定理の3）。

円周角の定理の逆

2点 P、Q が直線 AB について同じ側にあり、∠APB=∠AQB\angle APB=\angle AQB ならば、4点 A、B、P、Q は1つの円周上にあります。4点が同じ円の上にあるかどうか（共円）を調べるときに使います。

高校受験（中学3年）での使い方

円周角の定理は中学3年で学びます。高校入試では、角度を求める問題、相似の証明（同じ弧の円周角が等しいことを使う）、直径と直角の問題が定番です。

高校受験

例題1（中心角と円周角）

円 O で、弧 AB に対する中心角が 130∘130^\circ のとき、同じ弧に対する円周角 ∠APB\angle APB を求めなさい。

解き方

円周角は中心角の半分なので 130÷2=65130\div2=65（度）。

答え　65∘65^\circ

高校受験

例題2（直径と円周角）

AB が円 O の直径で、円周上の点 C について ∠CAB=35∘\angle CAB=35^\circ のとき、∠ABC\angle ABC を求めなさい。

解き方

直径に対する円周角なので ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ。

三角形の内角の和から ∠ABC=180−90−35=55\angle ABC=180-90-35=55（度）。

答え　55∘55^\circ

大学受験での使い方

高校の数学Aでは、円周角の定理から円に内接する四角形の性質（向かい合う角の和が 180∘180^\circ）、接弦定理、方べきの定理を導きます。数学Ⅰの正弦定理 asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2R の証明でも、円周角の定理が使われます。

大学受験

例題3（内接四角形）

円に内接する四角形 ABCD で、∠A=105∘\angle A=105^\circ のとき、∠C\angle C を求めなさい。また、その理由を円周角の定理で説明しなさい。

解き方

弧 BCD に対する円周角が ∠A\angle A、弧 BAD に対する円周角が ∠C\angle C。2つの弧の中心角の和は 360∘360^\circ なので、円周角の和は半分の 180∘180^\circ。

∠C=180−105=75\angle C=180-105=75（度）。

答え　75∘75^\circ

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

90∘90^\circ になるのは弦が直径のときだけだ。直径でないのに直角にするな。

  • どの弧に対する円周角かを確かめない：同じ2点 A、B でも、P が反対側の弧にあると、対応する弧が変わります。
  • 中心角を2倍ではなく半分にする：中心角＝円周角×2。
  • 直径でないのに 90∘90^\circ にする：90∘90^\circ になるのは、弦が直径のときだけ。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

どの弧に対する角か、指でなぞって確かめよう

  1. 高校受験 同じ弧に対する円周角が 48∘48^\circ のとき、中心角を求めなさい。
    答えと解説を見る中心角は円周角の2倍。48×2=9648\times2=96。答え 96∘96^\circ
  2. 高校受験 円周を12等分する点のうち、となり合う2点 A、B に対する円周角を求めなさい。
    答えと解説を見る弧 AB の中心角は 360÷12=30360\div12=30。円周角はその半分。答え 15∘15^\circ
  3. 大学受験 円に内接する四角形 ABCD で ∠B=80∘\angle B=80^\circ のとき、頂点 D の外角を求めなさい。
    答えと解説を見る∠D=180−80=100\angle D=180-80=100。D の外角は 180−100=80180-100=80 で、向かい合う内角 ∠B\angle B と等しい。答え 80∘80^\circ

関連する公式

よくある質問

円周角の定理とは？

1つの弧に対する円周角は中心角の半分であり、同じ弧に対する円周角はすべて等しいという定理です。

円周角の定理はどう証明しますか？

円周上の点 P から中心を通る直径を引くと、半径2本でできる二等辺三角形が2つでき、外角の性質から中心角が円周角の2倍になることが示せます。

直径に対する円周角はなぜ90°ですか？

直径に対する中心角は180°なので、その半分の90°になるからです。

円周角の定理の逆とは？

2点が直線 AB の同じ側にあり、A・B を見る角が等しければ、4点は同じ円周上にあるというものです。

円周角の定理は何年生で習いますか？

中学3年生で習います。高校の数学Aで内接四角形・接弦定理・方べきの定理へと発展します。

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出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第3学年（円周角と中心角の関係）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学A（図形の性質）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦