三角形の外角の定理｜外角＝となり合わない2つの内角の和の証明（平行線）・ブーメラン形の角と例題【中学受験〜高校受験】

中学受験高校受験

\angle ACD=\angle A+\angle B

外角＝となり合わない2つの内角の和

この公式のポイント

外角＝となり合わない2つの内角の和
証明は内角の和か平行線
ブーメラン形の角＝3つの角の和
角度の問題は外角を見つけると速い

うかるくん

三角形の外角って、どの2つの内角を足せばいいの？

合格先生

となり合わない2つの内角の和だ。内角の和180°と一直線の180°をくらべれば分かるぞ。

三角形の外角の定理

外角の定理

三角形の外角は、それととなり合わない2つの内角の和に等しい

$\angle ACD=\angle A+\angle B$

応用：へこんだ四角形（ブーメラン形）の角 $\angle BDC=\angle A+\angle B+\angle C$

C を通り BA に平行な直線 CE を引くと、外角 ∠ACD が ∠A と ∠B に分かれる

証明

方法1（内角の和）： $\angle A+\angle B+\angle ACB=180^\circ$ 、一直線なので $\angle ACB+\angle ACD=180^\circ$ 。くらべると $\angle ACD=\angle A+\angle B$ 。

方法2（平行線）：C を通り BA に平行な直線 CE を引くと、錯角で $\angle ACE=\angle A$ 、同位角で $\angle ECD=\angle B$ 。合わせて $\angle ACD=\angle A+\angle B$ 。

へこんだ四角形の角は、残り3つの角の和

ブーメラン形の証明

AD を D の先にのばすと、2つの三角形ができます。上の三角形の外角は $a$ の一部＋ $b$ 、下の三角形の外角は $a$ の残り＋ $c$ 。2つの外角を合わせたものが $\angle BDC$ なので、 $\angle BDC=a+b+c$ 。

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（外角）

三角形 ABC で ∠A＝50°、∠B＝60° のとき、C の外角は何度ですか。

解き方

$50+60=110$ （度）。

答え　 $110^\circ$

中学受験

例題2（ブーメラン形）

へこんだ四角形 ABDC（D がへこんだ頂点）で ∠A＝30°、∠B＝40°、∠C＝35° のとき、∠BDC（180°より小さいほうの角）は何度ですか。

解き方

$30+40+35=105$ （度）。

答え　 $105^\circ$

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題3（二等辺三角形との組み合わせ）

△ABC で AB＝AC、∠A＝40° です。辺 BC を C の先にのばした点を D とするとき、∠ACD を求めなさい。

解き方

底角は $(180-40)\div2=70^\circ$ 。外角 $\angle ACD=40+70=110^\circ$ （または $180-70$ ）。

答え　 $110^\circ$

よくある間違い

合格先生

ブーメラン形は四角形だから内角の和は360°だ。へこんだ角は残り3つの角の和になるぞ。

となりの内角を足す：外角は「となり合わない」2つの内角の和。
ブーメラン形で内角の和を180°とする：四角形なので360°。へこんだ角は3つの和。

練習問題

うかるくん

へこんだ形を見たら、3つの角を足してみるよ

中学受験三角形の1つの外角が 125°、となり合わない内角の1つが 70° のとき、もう1つは？
答えと解説を見る
$125-70=55$ 。答え $55^\circ$
中学受験へこんだ四角形で、へこんだ頂点以外の3つの角が 25°、45°、50° のとき、へこんだ頂点の角（180°より小さいほう）は？
答えと解説を見る
$25+45+50=120$ 。答え $120^\circ$
高校受験正三角形の1つの外角は？
答えと解説を見る
$60+60=120$ 。答え $120^\circ$

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よくある質問

三角形の外角の定理とは？

三角形の外角は、それととなり合わない2つの内角の和に等しい、という定理です。

外角の定理の証明は？

内角の和180°と、一直線の角180°をくらべるか、平行線を引いて錯角と同位角を使って証明します。

ブーメラン形の角の求め方は？

へこんだ部分の角は、残り3つの角の和になります。外角の定理を2回使うと分かります。