多角形の内角の和・外角の和の公式｜180°×(n−2) と外角360°の証明・正多角形の角・対角線の本数と例題【中学受験〜高校受験】

多角形の内角の和・外角の和の公式

証明①：内角の和は三角形に分けて数える

$n$ 角形の1つの頂点から対角線を引くと、となりの2つの頂点以外の $n-3$ 本が引けて、$n-2$ 個の三角形に分かれます。三角形の内角の和は $180^\circ$（平行線の錯角で証明できる）で、分けた三角形の角を全部集めるとちょうど $n$ 角形の内角になるので、内角の和は $180^\circ\times(n-2)$。

証明②：外角の和はいつも 360°

各頂点で「内角＋外角＝$180^\circ$」なので、$n$ 個の頂点で合計 $180^\circ\times n$。ここから内角の和 $180^\circ\times(n-2)$ を引くと、

$$180^\circ\times n-180^\circ\times(n-2)=360^\circ$$

$n$ が消えるので、何角形でも外角の和は $360^\circ$。図のように、辺にそって1周歩くと向きがちょうど1回転する、と考えても分かります。

対角線の本数

1つの頂点から引ける対角線は $n-3$ 本。頂点は $n$ 個ですが、1本の対角線を両端の頂点から2回数えているので $\dfrac{n(n-3)}{2}$ 本です。

中学受験（算数）での使い方

高校受験（中学数学）での使い方

多角形の角は中学2年で学びます。

よくある間違い

• $180\times n$ とする：三角形の数は $n-2$ 個。
• 外角の和が角の数で変わると思う：いつも $360°$。
• 対角線を $n(n-3)$ 本とする：2回数えているので÷2。

練習問題

1. 中学受験 正八角形の1つの内角は何度ですか。
   答えと解説を見る

   外角 $360\div8=45°$、内角 $135°$。答え $135°$
2. 高校受験 1つの外角が $24°$ の正多角形は正何角形ですか。
   答えと解説を見る

   $360\div24=15$。答え 正十五角形
3. 高校受験 六角形の対角線は何本ありますか。
   答えと解説を見る

   $\dfrac{6\times3}{2}=9$。答え $9$ 本

関連する公式

• 平行線と角（三角形の内角の和）
• 円周角の定理
• 三角形・平行四辺形の面積
• オイラーの多面体定理（正多面体の頂点の角）
• 転がる円（外角の和の応用）
• 三角形の外角
• 角度の求め方（正多角形・星形）

この公式が出てくる合格大作戦の記事

• 補助線引けば秒殺！正六角形と台形の面積問題
  正六角形の角（120°）と補助線の使い方

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）