同位角・錯角・対頂角と三角形の内角の和｜平行線と角の性質・多角形の内角の和と例題【中学受験〜高校受験】

同位角・錯角・対頂角と三角形の内角の和｜平行線と角の性質・多角形の内角の和と例題【中学受験〜高校受験】

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中学受験高校受験

∠A+∠B+∠C=180∘\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ

平行線の同位角・錯角は等しい　nn 角形の内角の和＝180∘×(n−2)180^\circ\times(n-2)

この公式のポイント

  • 平行線の同位角・錯角は等しい、対頂角はいつも等しい
  • 三角形の内角の和は 180∘180^\circ。理由は錯角
  • 外角＝となりにない2つの内角の和
  • nn 角形の内角の和は 180∘×(n−2)180^\circ\times(n-2)、外角の和は 360∘360^\circ
うかるくん

うかるくん

三角形の内角の和は、どうしていつも 180∘180^\circ になるの？

合格先生

合格先生

理由は錯角だ。平行線を引くと、錯角で3つの角が一直線に集まるから 180∘180^\circ になるぞ。

平行線と角の性質

2本の直線に1本の直線が交わると、8つの角ができます。その中の決まった位置の角には名前があり、2本の直線が平行なら等しくなるという性質があります。

ℓmabc青どうし（a と b）＝同位角、a と c＝錯角
平行な直線 ℓ\ell、mm に1本の直線が交わったところ

覚えておく4つの性質

  • 対頂角は等しい（交わった2直線の向かい合う角）
  • 平行線の同位角は等しい（同じ位置にある角）
  • 平行線の錯角は等しい（Z字の内側の角）
  • 三角形の内角の和は 180∘180^\circ、外角はとなりにない2つの内角の和
用語どこの角か平行線なら
対頂角2直線が交わったときの向かい合う角いつも等しい
同位角2本の直線で、交わり方が同じ位置にある角（F字）等しい
錯角2本の直線の内側で、斜めに向かい合う角（Z字）等しい
同側内角2本の直線の内側で、同じ側にある角和が 180∘180^\circ

反対に、同位角や錯角が等しければ、その2本の直線は平行です。

三角形の内角の和が 180° になる理由

ABCBC に平行な線
頂点を通って底辺に平行な線を引くと、錯角で3つの角が一直線に集まる

三角形の1つの頂点を通って、向かい合う辺に平行な直線を引きます。錯角が等しいので、残りの2つの角がちょうど頂点に移り、3つの角が一直線（180∘180^\circ）に並びます。

∠A+∠B+∠C=180∘,外角=となりにない2つの内角の和\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,\qquad \text{外角}=\text{となりにない2つの内角の和}

この考え方から、nn 角形の内角の和は 180∘×(n−2)180^\circ\times(n-2)（1つの頂点から対角線を引くと n−2n-2 個の三角形に分かれる）、外角の和はいつも 360∘360^\circ であることも分かります。

中学受験（算数）での使い方

三角形の角の和 180∘180^\circ、四角形の角の和 360∘360^\circ は小学5年で学びます。中学受験では、平行線と角、二等辺三角形、星形の角などを組み合わせた角度の問題が毎年出ます。

中学受験

例題1（二等辺三角形）

頂角が 40∘40^\circ の二等辺三角形の、底角の大きさを求めなさい。

解き方

2つの底角は等しいので、(180−40)÷2=70(180-40)\div2=70（度）。

答え　70∘70^\circ

中学受験

例題2（四角形）

四角形の3つの角が 80∘80^\circ、95∘95^\circ、110∘110^\circ のとき、残りの角を求めなさい。

解き方

四角形は対角線で2つの三角形に分けられるので、角の和は 180×2=360180\times2=360（度）。

360−80−95−110=75360-80-95-110=75（度）。

答え　75∘75^\circ

高校受験（中学2年）での使い方

中学2年で、平行線の性質と三角形の角を証明として学びます。高校入試では、平行線の間に折れ線がある「くの字」の角や、多角形の内角・外角がよく出ます。

高校受験

例題3（平行線と折れ線）

平行な直線 ℓ\ell、mm の間に折れ曲がった線があり、ℓ\ell との角が 35∘35^\circ、mm との角が 50∘50^\circ です。折れ曲がった所の角 xx を求めなさい。（折れ線は平行線の間で、内側にとがっているとします）

解き方

折れ曲がった点を通って ℓ\ell に平行な線を引くと、錯角により xx は 35∘35^\circ と 50∘50^\circ に分かれます。

x=35+50=85x=35+50=85（度）。

答え　85∘85^\circ

高校受験

例題4（多角形）

正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。また、1つの内角が 150∘150^\circ の正多角形は正何角形ですか。

解き方

内角の和は 180×(8−2)=1080180\times(8-2)=1080、1つは 1080÷8=1351080\div8=135（度）。

1つの外角は 180−150=30180-150=30。外角の和は 360360 なので 360÷30=12360\div30=12。

答え　135∘135^\circ、正十二角形

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

nn 角形の内角の和を 180×n180\times n にするのは×。正しくは 180×(n−2)180\times(n-2) だ。

  • 平行でないのに同位角・錯角を等しいとする：等しくなるのは平行線のときだけ。
  • 外角と内角の取りちがえ：外角は辺をのばしてできる角。内角＋外角＝180∘180^\circ。
  • 多角形の内角の和を 180×n180\times n にする：正しくは 180×(n−2)180\times(n-2)。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

外角は、となりにない2つの内角の和ね。

  1. 中学受験 三角形の2つの角が 48∘48^\circ と 67∘67^\circ のとき、残りの角を求めなさい。
    答えと解説を見る180−48−67=65180-48-67=65。答え 65∘65^\circ
  2. 中学受験 三角形の1つの外角が 110∘110^\circ で、となりにない内角の1つが 45∘45^\circ です。もう1つのとなりにない内角を求めなさい。
    答えと解説を見る外角＝となりにない2つの内角の和なので 110−45=65110-45=65。答え 65∘65^\circ
  3. 高校受験 六角形の内角の和を求めなさい。
    答えと解説を見る180×(6−2)=720180\times(6-2)=720。答え 720∘720^\circ

関連する公式

よくある質問

同位角と錯角のちがいは？

同位角は2本の直線で同じ位置にある角（F字の形）、錯角は2本の直線の内側で斜めに向かい合う角（Z字の形）です。平行線ならどちらも等しくなります。

三角形の内角の和はなぜ180°ですか？

頂点を通って向かい合う辺に平行な線を引くと、錯角が等しいことから3つの角が一直線に並ぶからです。

三角形の外角の性質とは？

三角形の1つの外角は、それととなり合わない2つの内角の和に等しいという性質です。

多角形の内角の和は？

n角形の内角の和は 180°×(n−2) です。外角の和はいつも360°です。

平行線と角は何年生で習いますか？

三角形の角の和は小学5年、平行線と角の性質や証明は中学2年で習います。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）」算数 第5学年（三角形の三つの角の和）
  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第2学年（平行線と角）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦