平行線と線分の比の定理｜三角形と比 AD:DB=AE:EC の証明（相似）・平行線にはさまれた線分の比と台形の例題【中学3年・高校受験】

うかるくん

DE:BC は、AD:DB と AD:AB のどっちと等しいの？

合格先生

$AD:AB$ だ。三角形の相似で、対応する辺どうしの比になるからだぞ。

平行線と線分の比の定理

①は「小さい三角形 ADE と大きい三角形 ABC の比」、②は「辺を上下に分けた比」です。DE:BC は ② の比ではなく ① の比になることに注意します。

証明（相似を使う）

①の証明

△ADE と △ABC で、$\angle A$ は共通。DE∥BC なので同位角は等しく $\angle ADE=\angle ABC$。2組の角がそれぞれ等しいので（相似条件）△ADE∽△ABC。よって $AD:AB=AE:AC=DE:BC$。

②の証明

E を通り AB に平行な直線を引き、BC との交点を F とします。

△ADE と △EFC で、DE∥BC より同位角 $\angle AED=\angle ECF$、EF∥AB より同位角 $\angle DAE=\angle FEC$。よって △ADE∽△EFC で $AD:EF=AE:EC$。

四角形 DBFE は2組の対辺がそれぞれ平行なので平行四辺形で、$DB=EF$。だから $AD:DB=AE:EC$。

平行線にはさまれた線分の比の証明

A を通り DF に平行な直線を引き、$m,\ n$ との交点を G、H とします。四角形 AGED と GHFE は平行四辺形なので $AG=DE$、$GH=EF$。△ACH で BG∥CH なので、②より $AB:BC=AG:GH=DE:EF$。

高校受験（中学数学）での使い方

よくある間違い

合格先生

3本の平行線で、平行線上の長さまで同じ比にしない。等しいのは2本の直線上の線分の比だけだ。

• DE:BC＝AD:DB とする：正しくは $DE:BC=AD:AB$。例題1なら $6:3$ ではなく $6:9$。
• 平行でないのに比を使う：まず DE∥BC（または平行線）を確かめる。
• 3本の平行線で、平行線上の長さまで同じ比にする：等しくなるのは、2本の直線上の線分の比だけ。

練習問題

合格先生

まず DE∥BC を確かめてから比を使うんだぞ。

1. 高校受験 △ABC で DE∥BC、AD:DB＝2:3、BC＝15 のとき、DE の長さは？
   答えと解説を見る

   $DE:BC=AD:AB=2:5$、$DE=15\times\dfrac25=6$
2. 高校受験 3本の平行線に2本の直線が交わり、AB＝3、DE＝4、EF＝6 のとき、BC の長さは？
   答えと解説を見る

   $3:BC=4:6$、$BC=\dfrac{18}{4}=\dfrac92$（4.5）
3. 高校受験 △ABC で AB＝10、AC＝15、AB 上に AD＝4 の点 D、AC 上に AE＝6 の点 E をとります。DE∥BC といえますか。
   答えと解説を見る

   $AD:DB=4:6=2:3$、$AE:EC=6:9=2:3$ で等しいので、定理の逆より DE∥BC といえる

関連する公式

• 三角形の相似条件
• 中点連結定理（比が1:1の場合）
• 平行線と角
• 角の二等分線の定理（証明に平行線と比を使う）
• 相似な図形の面積比・体積比
• メネラウスの定理・チェバの定理

よくある質問

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