三角形の相似条件｜3つの条件と「2組の角」でよい理由の証明・直角三角形の垂線・平行線の例題【中学数学・高校受験】

うかるくん

三角形の相似条件は、どうして角が2組だけでいいの？

合格先生

三角形の内角の和は180°だ。2つの角が等しければ、残りの角も自動で等しくなるぞ。

三角形の相似条件

2つの図形が相似とは、一方を拡大・縮小すると他方と合同になることです（記号 $\backsim$）。対応する辺の比はすべて等しく（この比が相似比）、対応する角はそれぞれ等しくなります。

なぜ「2組の角」だけでよいのか（証明）

三角形の内角の和は180°なので、2つの角が等しければ残りの角も自動的に等しくなります。3つの角が決まると、形が1つに決まります。

もう少していねいに：△ABC と △DEF で $\angle B=\angle E$、$\angle C=\angle F$ とします。△DEF を $\dfrac{BC}{EF}$ 倍に拡大した三角形を △D'E'F' とすると、$E'F'=BC$ で、両端の角も等しい。合同条件（1辺とその両端の角）から △D'E'F' $\equiv$ △ABC。つまり △ABC は △DEF を拡大したもの＝相似です。ほかの2つの条件も、拡大してから合同条件（3辺、2辺と間の角）に持ちこめば同じように証明できます。

相似条件は合同条件の「長さ」を「比」に変えたもの、と覚えると整理できます（1辺と両端の角 → 辺の長さはいらないので「2組の角」）。

高校受験（中学数学）での使い方

相似条件は中学3年で学びます。高校入試の図形問題で最もよく使う道具の一つです。

$AB^2=BD\cdot BC$、$AC^2=CD\cdot CB$ を足すと $AB^2+AC^2=BC(BD+DC)=BC^2$。これは三平方の定理の証明の一つです。

よくある間違い

合格先生

対応する辺を取りちがえやすい。等しい角の向かい側にある辺どうしが対応するんだ。

• 対応する辺を取りちがえる：等しい角の向かい側の辺どうしが対応する。
• 2辺の比と間でない角で相似とする：角は2辺の間。
• DB と BC で比をとる：例題2の相似比は AD：AB（＝4：6）。

練習問題

サクラちゃん

合同条件の「長さ」を「比」に変えればいいんだね。

1. 高校受験 △ABC と △DEF で、$AB=6$、$BC=8$、$CA=10$、$DE=9$、$EF=12$、$FD=15$ です。相似といえますか。
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   $6:9=8:12=10:15=2:3$。3組の辺の比が等しいので相似
2. 高校受験 $\angle A=90^\circ$ の △ABC で、A から BC に垂線 AD をおろすと $BD=2$、$DC=8$ でした。AD を求めなさい。
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   $AD^2=2\times8=16$。答え $4$
3. 高校受験 相似比が $2:3$ の2つの三角形で、小さいほうの周の長さが 20 cm のとき、大きいほうの周の長さを求めなさい。
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   $20\times\dfrac32=30$。答え $30$ cm

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