三平方の定理（ピタゴラスの定理）｜a²+b²=c² の意味・証明・覚えておく辺の比と例題【高校受験〜大学受験】

三平方の定理とは

三平方の定理は、直角三角形の3つの辺の長さの関係を表す定理です。直角をはさむ2辺の長さを $a,\ b$、直角の向かい側にあるいちばん長い辺（斜辺）の長さを $c$ とすると、次の式が成り立ちます。

たとえば、直角をはさむ2辺が $3$ と $4$ なら、$3^2+4^2=9+16=25=5^2$ なので、斜辺は $5$ です。

この式は「2乗」、つまり正方形の面積の関係でもあります。直角三角形の3辺にそれぞれ正方形をくっつけると、小さい2つの正方形の面積の和が、いちばん大きい正方形の面積とぴったり等しくなります。「三平方」という名前は、この3つの正方形（平方）から来ています。

なぜ成り立つのか（証明）

証明1：正方形の中に三角形を4つ並べる

1辺が $a+b$ の大きな正方形の中に、同じ直角三角形を4つ置きます。すると、まん中に1辺 $c$ の正方形ができます。

大きな正方形の面積を2通りに表します。

$$\begin{aligned}(a+b)^2&=c^2+4\times\frac{ab}{2}\\ a^2+2ab+b^2&=c^2+2ab\\ a^2+b^2&=c^2\end{aligned}$$

証明2：相似を使う

直角三角形 $\triangle ABC$（$\angle C=90^\circ$）で、$C$ から斜辺 $AB$ に垂線 $CH$ を下ろします。できた2つの小さな三角形は、どちらももとの三角形と相似です。

$\triangle ACH\sim\triangle ABC$ から $AC^2=AH\cdot AB$、$\triangle CBH\sim\triangle ABC$ から $BC^2=BH\cdot AB$。2つを足すと、

$$AC^2+BC^2=(AH+BH)\cdot AB=AB^2$$

三平方の定理には、ほかにも数百通りの証明が知られています。

定理の逆

三角形の3辺が $a^2+b^2=c^2$ をみたすなら、その三角形は $c$ を斜辺とする直角三角形です。これを三平方の定理の逆といい、「直角三角形かどうか」を調べるときに使います。

覚えておきたい直角三角形の辺の比

整数の組では、ほかに $5:12:13$、$8:15:17$、$7:24:25$ もよく出ます（ピタゴラス数といいます）。

歴史と名前

この定理は、古代ギリシャのピタゴラス（紀元前6世紀ごろ）の名前で呼ばれています。ただし、直角三角形の辺の関係はそれよりずっと前から知られていて、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板（「プリンプトン322」と呼ばれるもの）には、この関係をみたす数の組が並んでいることが知られています。ピタゴラス本人が最初に証明したかどうかは、はっきりしていません。

中学受験（算数）では

三平方の定理は中学校3年生で習う内容なので、中学受験の算数では使わずに解ける問題が出ます。ただし、正方形の対角線や、問題文に「3：4：5の直角三角形」と示された図形はよく出てきます。上の「証明1」の図は、中学受験の面積の問題としてもそのまま出る形です。

高校受験（中学3年）での使い方

三平方の定理は中学3年で学びます。高校入試では、図形の長さ、座標の2点間の距離、立体の高さや対角線など、図形問題のほとんどの場面で使います。

大学受験での使い方

高校数学では、三平方の定理は余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ の特別な場合（$C=90^\circ$ で $\cos C=0$）として位置づけられます。座標平面・空間の距離、ベクトルの大きさ $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$、三角関数の $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ も、すべて三平方の定理が土台です。

よくある間違い

• 斜辺をまちがえる：$c$ は直角の向かい側の辺（いちばん長い辺）です。「2辺が $5$ と $13$」のとき、$13$ が斜辺なら残りは $\sqrt{13^2-5^2}=12$ です。
• 2乗の和をそのまま足す：$\sqrt{3^2+4^2}$ を $3+4=7$ としない。
• 直角がない三角形に使う：三平方の定理は直角三角形だけで成り立ちます。そうでない三角形は余弦定理を使います。

練習問題

1. 高校受験 斜辺が $17$、他の1辺が $8$ の直角三角形の残りの辺の長さを求めなさい。
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   $\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。答え $15$
2. 高校受験 1辺が $6\text{ cm}$ の正三角形の高さを求めなさい。
   答えと解説を見る

   高さで2つに分けると、斜辺 $6$、底辺 $3$ の直角三角形。$\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。答え $3\sqrt{3}\text{ cm}$
3. 高校受験 3辺が $7,\ 24,\ 25$ の三角形は直角三角形ですか。
   答えと解説を見る

   $7^2+24^2=49+576=625=25^2$ なので、三平方の定理の逆により、$25$ を斜辺とする直角三角形です。

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