三角比・三角関数の基本｜sin・cos・tan の定義と値の表、sin²θ+cos²θ=1 の証明・弧度法と例題【大学受験 数学Ⅰ・Ⅱ】

三角比・三角関数の基本｜sin・cos・tan の定義と値の表、sin²θ+cos²θ=1 の証明・弧度法と例題【大学受験 数学Ⅰ・Ⅱ】

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大学受験

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

sin⁡θ=高さ斜辺\sin\theta=\dfrac{\text{高さ}}{\text{斜辺}}、cos⁡θ=底辺斜辺\cos\theta=\dfrac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}、tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

この公式のポイント

  • sin⁡=高さ斜辺\sin=\dfrac{\text{高さ}}{\text{斜辺}}、cos⁡=底辺斜辺\cos=\dfrac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}、tan⁡=高さ底辺\tan=\dfrac{\text{高さ}}{\text{底辺}}
  • 単位円上の点を (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) と決めて、鈍角・一般の角に広げる
  • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 は単位円と三平方の定理から
  • 30∘,45∘,60∘30^\circ,45^\circ,60^\circ の値は特別な直角三角形から出る
うかるくん

うかるくん

sin⁡\sin と cos⁡\cos、どっちが高さでどっちが底辺か迷う…

合格先生

合格先生

sin⁡\sin は高さ÷斜辺、cos⁡\cos は底辺÷斜辺だ。角 θ\theta の位置から見て決めるんだぞ。

三角比の定義

θ底辺高さ斜辺(cosθ, sinθ)θ1
左：直角三角形の辺の比（数学Ⅰ）。右：単位円上の点の座標（数学Ⅱで一般の角へ）

三角比（直角三角形で）

sin⁡θ=高さ斜辺cos⁡θ=底辺斜辺tan⁡θ=高さ底辺\sin\theta=\frac{\text{高さ}}{\text{斜辺}}\qquad\cos\theta=\frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}\qquad\tan\theta=\frac{\text{高さ}}{\text{底辺}}

単位円（半径1の円）で角 θ\theta の位置の点の座標を (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) と決めると、90∘90^\circ より大きい角や負の角にも広げられます（三角関数）。

θ\theta0∘0^\circ30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ90∘90^\circ120∘120^\circ135∘135^\circ150∘150^\circ180∘180^\circ
sin⁡θ\sin\theta0012\frac1222\frac{\sqrt2}{2}32\frac{\sqrt3}{2}1132\frac{\sqrt3}{2}22\frac{\sqrt2}{2}12\frac1200
cos⁡θ\cos\theta1132\frac{\sqrt3}{2}22\frac{\sqrt2}{2}12\frac1200−12-\frac12−22-\frac{\sqrt2}{2}−32-\frac{\sqrt3}{2}−1-1
tan⁡θ\tan\theta0013\frac{1}{\sqrt3}113\sqrt3なし−3-\sqrt3−1-1−13-\frac{1}{\sqrt3}00

30∘, 45∘, 60∘30^\circ,\ 45^\circ,\ 60^\circ の値は、三平方の定理のページの「1:1:21:1:\sqrt2」「1:2:31:2:\sqrt3」の直角三角形から出てきます。

相互関係とその証明

三角比の相互関係

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\qquad\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\qquad1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}
  • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1：単位円上の点 (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) は原点からの距離が1なので、三平方の定理（2点間の距離）から cos⁡2θ+sin⁡2θ=12\cos^2\theta+\sin^2\theta=1^2。
  • tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}：高さ斜辺÷底辺斜辺=高さ底辺\dfrac{\text{高さ}}{\text{斜辺}}\div\dfrac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}=\dfrac{\text{高さ}}{\text{底辺}}。
  • 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}：sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 の両辺を cos⁡2θ\cos^2\theta で割る。

よく使う変換

sin⁡(90∘−θ)=cos⁡θ,cos⁡(90∘−θ)=sin⁡θ,sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ,cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta,\quad\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta,\quad\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta,\quad\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta

理由：直角三角形の2つの鋭角は θ\theta と 90∘−θ90^\circ-\theta なので「高さ」と「底辺」が入れかわる。180∘−θ180^\circ-\theta は単位円上で yy 軸について対称な点なので、yy 座標（sin⁡\sin）はそのまま、xx 座標（cos⁡\cos）は符号が逆。

弧度法

数学Ⅱでは角を弧度法（ラジアン）で表します。半径1の円で、弧の長さが θ\theta になる中心角を θ\theta ラジアンとします。360∘=2π360^\circ=2\pi、180∘=π180^\circ=\pi、90∘=π290^\circ=\dfrac\pi2、60∘=π360^\circ=\dfrac\pi3。こうすると、おうぎ形の弧が ℓ=rθ\ell=r\theta と簡単になり、微分でも (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x がそのまま成り立ちます。

大学受験での使い方

大学受験

例題1（相互関係）

θ\theta が鋭角で sin⁡θ=35\sin\theta=\dfrac35 のとき、cos⁡θ\cos\theta と tan⁡θ\tan\theta を求めなさい。

解き方

cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}、鋭角なので cos⁡θ=45\cos\theta=\dfrac45。

tan⁡θ=3/54/5=34\tan\theta=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac34。

答え　cos⁡θ=45\cos\theta=\dfrac45、tan⁡θ=34\tan\theta=\dfrac34

大学受験

例題2（鈍角）

sin⁡θ=32\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}（0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ）をみたす θ\theta を求めなさい。

解き方

単位円で yy 座標が 32\dfrac{\sqrt3}{2} の点は2つあり、θ=60∘\theta=60^\circ と 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ。

答え　60∘, 120∘60^\circ,\ 120^\circ

P（60°）P′（120°）60°60°y＝√3/21/2−1/21−1
例題2の図。単位円で yy 座標が 32\dfrac{\sqrt3}{2} の点は yy 軸について対称な2点で、θ=60∘\theta=60^\circ と 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ
大学受験

例題3（対称式）

sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin\theta+\cos\theta=\dfrac12 のとき、sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta を求めなさい。

解き方

両辺を2乗して sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=14\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\dfrac14。

1+2sin⁡θcos⁡θ=141+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac14 より sin⁡θcos⁡θ=−38\sin\theta\cos\theta=-\dfrac38。

答え　−38-\dfrac38

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

sin⁡θ\sin\theta から角を1つだけ答えない。0∘0^\circ〜180∘180^\circ では2つあることが多い。

  • 辺の取りちがえ：sin⁡\sin は「高さ÷斜辺」、cos⁡\cos は「底辺÷斜辺」。角 θ\theta の位置から見て決める。
  • 鈍角の cos⁡\cos の符号：90∘<θ<180∘90^\circ<\theta<180^\circ では cos⁡θ<0\cos\theta<0。
  • sin⁡θ\sin\theta から角を1つだけ答える：0∘∼180∘0^\circ\sim180^\circ では2つあることが多い。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

単位円で見ると、sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 も分かるね。

  1. 大学受験 cos⁡θ=−13\cos\theta=-\dfrac{1}{3}（0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ）のとき、sin⁡θ\sin\theta を求めなさい。
    答えと解説を見るsin⁡2θ=1−19=89\sin^2\theta=1-\dfrac19=\dfrac89、sin⁡θ≥0\sin\theta\ge0 なので 223\dfrac{2\sqrt2}{3}。答え 223\dfrac{2\sqrt2}{3}
  2. 大学受験 tan⁡θ=2\tan\theta=2（θ\theta は鋭角）のとき、cos⁡θ\cos\theta を求めなさい。
    答えと解説を見る1+4=1cos⁡2θ1+4=\dfrac{1}{\cos^2\theta} より cos⁡2θ=15\cos^2\theta=\dfrac15、cos⁡θ=15\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt5}。答え 55\dfrac{\sqrt5}{5}
  3. 大学受験 135∘135^\circ を弧度法で表しなさい。
    答えと解説を見る135×π180=34π135\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{3}{4}\pi。答え 34π\dfrac34\pi

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よくある質問

sin、cos、tan の意味は？

直角三角形で、sinθ=高さ÷斜辺、cosθ=底辺÷斜辺、tanθ=高さ÷底辺 です。

sin²θ+cos²θ=1 はなぜ成り立つのですか？

単位円上の点 (cosθ, sinθ) は原点からの距離が1なので、三平方の定理から cos²θ+sin²θ=1 になります。

三角比の値の覚え方は？

30°・45°・60°は、1:2:√3 と 1:1:√2 の直角三角形の辺の比から求められます。

弧度法とは？

半径1の円で弧の長さが θ になる中心角を θ ラジアンとする角の表し方です。180°=π ラジアンです。

三角比は何年生で習いますか？

高校1年の数学Ⅰで三角比、高校2年ごろ数学Ⅱで弧度法と三角関数を学びます。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅰ（図形と計量）・数学Ⅱ（三角関数）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦