三角関数の合成の公式｜a sinθ+b cosθ=r sin(θ+α) の証明・点(a, b)で考えるやり方・最大最小の例題【数学Ⅱ・大学受験】

うかるくん

合成で点 $(a,\ b)$ をとるとき、どっちの係数が $x$ 座標なの？

合格先生

$\sin$ の係数が $x$、$\cos$ の係数が $y$ だ。原点からの距離が $r$ になるぞ。

三角関数の合成の公式

$a\sin\theta+b\cos\theta$ のように $\sin$ と $\cos$ が混ざった式を、1つの $\sin$ にまとめるのが三角関数の合成です。最大値・最小値や方程式・不等式で使います。

使い方：点 $(a,\ b)$ をとる（$\sin$ の係数が $x$ 座標、$\cos$ の係数が $y$ 座標）→ 原点からの距離が $r$、角が $\alpha$。たとえば $\sin\theta+\sqrt3\cos\theta$ は点 $(1,\ \sqrt3)$ なので $r=2$、$\alpha=\dfrac{\pi}{3}$、

証明：加法定理を逆向きに使う

右辺を加法定理で展開すると、

これが $a\sin\theta+b\cos\theta$ と等しくなるには、$r\cos\alpha=a$、$r\sin\alpha=b$ であればよい。これは「点 $(a,\ b)$ を、原点からの距離 $r$ と角 $\alpha$ で表す」ことそのものです。$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ から $r^2=a^2+b^2$、つまり $r=\sqrt{a^2+b^2}$。

こうして合成は、加法定理を右から左へ読んだものだと分かります。$\sin$ と $\cos$ の波を足すと、高さ $\sqrt{a^2+b^2}$ の1つの波になる、という意味です。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

合格先生

$r$ を $a+b$ にしてはいけない。三平方の定理で $r=\sqrt{a^2+b^2}$ だ。

• 点の座標を逆にとる：$\sin$ の係数が $x$ 座標、$\cos$ の係数が $y$ 座標。
• $\theta$ の範囲を $\theta+\alpha$ の範囲に直し忘れる：範囲つきの最大・最小で答えがずれる原因。
• $r$ を $a+b$ にする：$r=\sqrt{a^2+b^2}$（三平方の定理）。

練習問題

合格先生

範囲があれば、$\theta+\alpha$ の範囲に直すんだぞ。

1. 大学受験 $sqrt3sin heta-cos heta$ を $rsin( heta+alpha)$ の形にしなさい（$-pi<alphalepi$）。
   答えと解説を見る

   点 $(sqrt3, -1)$。$r=2$、$alpha=-dfrac{pi}{6}$。答え $2sinleft( heta-dfrac{pi}{6} ight)$
2. 大学受験 $0le hetaledfrac{pi}{2}$ のとき、$y=sin heta+sqrt3cos heta$ の最大値と最小値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $y=2sinleft( heta+dfrac{pi}{3} ight)$、$dfrac{pi}{3}le heta+dfrac{pi}{3}ledfrac{5pi}{6}$。最大値 $2$（$heta=dfrac{pi}{6}$）、最小値 $1$（$heta=dfrac{pi}{2}$）
3. 大学受験 $y=5sin heta+12cos heta$ の最小値を求めなさい。
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   $r=sqrt{25+144}=13$。最小値 $-13$

関連する公式

• 加法定理（合成は加法定理の逆）
• 三角関数のグラフと周期
• 三角比の基本公式
• 三平方の定理（$r=\sqrt{a^2+b^2}$）
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よくある質問

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