2倍角・半角の公式｜加法定理から導く証明と、面積で見る sin2θ＝2sinθcosθ・次数を下げる公式・cos15°の例題【数学Ⅱ・大学受験】

2倍角・半角の公式｜加法定理から導く証明と、面積で見る sin2θ＝2sinθcosθ・次数を下げる公式・cos15°の例題【数学Ⅱ・大学受験】

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大学受験

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\quad\cos2\theta=1-2\sin^2\theta

半角：sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\sin^2\dfrac\theta2=\dfrac{1-\cos\theta}{2}

この公式のポイント

  • 加法定理で α=β=θ\alpha=\beta=\theta とおくだけ
  • cos⁡2θ\cos2\theta は3つの形を使い分ける
  • 半角の公式は次数を下げる（2次→1次）
  • 半角でルートをとるときは符号を確かめる
うかるくん

うかるくん

cos⁡2θ\cos2\theta の形が3つもあって、どれを使えばいいのか迷うよ

合格先生

合格先生

消したい文字で選ぶんだ。sin⁡\sin だけの式にしたいなら 1−2sin⁡2θ1-2\sin^2\theta を使おう。

2倍角・半角の公式

2倍角の公式

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θcos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=1−2sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\begin{aligned}\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\\ \cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1\\ \tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\end{aligned}

半角の公式（次数を下げる公式）

sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2,cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2},\qquad\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}

証明：加法定理で α＝β とおく

加法定理 sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta で α=β=θ\alpha=\beta=\theta とおくと sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta。同じく cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta。sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 を使って片方を消すと、1−2sin⁡2θ1-2\sin^2\theta と 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta-1 の形も出ます。

θθ11sinθsinθcosθ½·sin2θ ＝ 2×½·sinθcosθ
2辺が1、間の角 2θ2\theta の二等辺三角形の面積を2通りに計算する

図形でも確かめられます。全体の面積は 12⋅1⋅1⋅sin⁡2θ\dfrac12\cdot1\cdot1\cdot\sin2\theta（2辺とはさむ角）。真ん中で2つの直角三角形に分けると、それぞれ高さ sin⁡θ\sin\theta、底辺 cos⁡θ\cos\theta なので、合計 2×12sin⁡θcos⁡θ2\times\dfrac12\sin\theta\cos\theta。等しいので sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta。

半角の公式は cos2θ の式を逆に読む

cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos2\theta=1-2\sin^2\theta を sin⁡2θ\sin^2\theta について解くと sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}。θ\theta を θ2\dfrac\theta2 におきかえれば半角の公式です。2乗（2次）を1次の cos⁡2θ\cos2\theta にできるので、次数を下げる公式とも呼ばれます（積分でよく使う）。

1½π2πy＝sin²θ＝(1−cos2θ)/2y＝sinθ
sin⁡2θ\sin^2\theta のグラフは 1−cos⁡2θ2\dfrac{1-\cos2\theta}{2} そのもの。12\dfrac12 を中心に周期 π\pi でゆれる

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

大学受験

例題1（値を求める）

θ\theta は鋭角で sin⁡θ=35\sin\theta=\dfrac35 のとき、sin⁡2θ\sin2\theta と cos⁡2θ\cos2\theta を求めなさい。

解き方

cos⁡θ=45\cos\theta=\dfrac45。sin⁡2θ=2⋅35⋅45=2425\sin2\theta=2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}、cos⁡2θ=1−2⋅925=725\cos2\theta=1-2\cdot\dfrac{9}{25}=\dfrac{7}{25}。

答え　2425\dfrac{24}{25}、725\dfrac{7}{25}

大学受験

例題2（半角）

cos⁡15∘\cos15^\circ の値を半角の公式で求めなさい。

解き方

cos⁡215∘=1+cos⁡30∘2=2+34\cos^215^\circ=\dfrac{1+\cos30^\circ}{2}=\dfrac{2+\sqrt3}{4}。cos⁡15∘>0\cos15^\circ>0 より cos⁡15∘=2+32=6+24\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}。

答え　6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}

大学受験

例題3（方程式）

0≤θ<2π0\le\theta<2\pi のとき、cos⁡2θ+sin⁡θ=0\cos2\theta+\sin\theta=0 を解きなさい。

解き方

1−2sin⁡2θ+sin⁡θ=01-2\sin^2\theta+\sin\theta=0、2sin⁡2θ−sin⁡θ−1=02\sin^2\theta-\sin\theta-1=0、(2sin⁡θ+1)(sin⁡θ−1)=0(2\sin\theta+1)(\sin\theta-1)=0。

sin⁡θ=1\sin\theta=1 より θ=π2\theta=\dfrac\pi2、sin⁡θ=−12\sin\theta=-\dfrac12 より θ=7π6, 11π6\theta=\dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{11\pi}{6}。

答え　θ=π2, 7π6, 11π6\theta=\dfrac\pi2,\ \dfrac{7\pi}6,\ \dfrac{11\pi}6

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

sin⁡2θ=2sin⁡θ\sin2\theta=2\sin\theta ではない。正しくは 2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta だぞ。

  • sin⁡2θ=2sin⁡θ\sin2\theta=2\sin\theta とする：2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta。
  • cos⁡2θ\cos2\theta の3つの形を使い分けない：sin⁡\sin だけの式にしたいなら 1−2sin⁡2θ1-2\sin^2\theta。
  • 半角で符号を確かめない：ルートをとるとき、角の範囲から正負を決める。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

半角は、ルートをとる前に角の範囲で符号を決めるんだ。

  1. 大学受験 cos⁡θ=13\cos\theta=\dfrac13 のとき cos⁡2θ\cos2\theta を求めなさい。
    答えと解説を見る2⋅19−1=−792\cdot\dfrac19-1=-\dfrac79
  2. 大学受験 sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin\theta+\cos\theta=\dfrac12 のとき sin⁡2θ\sin2\theta を求めなさい。
    答えと解説を見る2乗して 1+sin⁡2θ=141+\sin2\theta=\dfrac14。答え −34-\dfrac34
  3. 大学受験 sin⁡2π8\sin^2\dfrac{\pi}{8} の値を求めなさい。
    答えと解説を見る1−cos⁡π42=2−24\dfrac{1-\cos\frac\pi4}{2}=\dfrac{2-\sqrt2}{4}

関連する公式

よくある質問

2倍角の公式は？

sin2θ=2sinθcosθ、cos2θ=cos²θ−sin²θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1、tan2θ=2tanθ/(1−tan²θ) です。

2倍角の公式の証明は？

加法定理で α=β=θ とおくと導けます。sin2θ は二等辺三角形の面積を2通りに計算しても示せます。

半角の公式は？

sin²(θ/2)=(1−cosθ)/2、cos²(θ/2)=(1+cosθ)/2 です。cos2θ=1−2sin²θ を変形したものです。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（三角関数）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦