三角形の面積 S＝½ab sinC とヘロンの公式｜高さ b sinC の証明・余弦定理からヘロンを導く・13・14・15の例題【数学Ⅰ・大学受験】

三角形の面積 S＝½ab sinC とヘロンの公式｜高さ b sinC の証明・余弦定理からヘロンを導く・13・14・15の例題【数学Ⅰ・大学受験】

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大学受験

S=12absin⁡C=s(s−a)(s−b)(s−c)S=\frac12ab\sin C=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}{2}（周の半分）

この公式のポイント

  • S=12absin⁡CS=\dfrac12ab\sin C：高さが bsin⁡Cb\sin C
  • CC は2辺 a, ba,\ b にはさまれた角
  • 3辺ならヘロンの公式（ss は周の半分）
  • ヘロンは余弦定理＋和と差の積で証明
うかるくん

うかるくん

12absin⁡C\dfrac12ab\sin C の CC は、どの角を使えばいいの？

合格先生

合格先生

2辺 a, ba,\ b にはさまれた角だ。高さが bsin⁡Cb\sin C になるから、底辺 aa と合わせて面積が出るぞ。

三角形の面積の公式

2辺とその間の角、3辺から求める面積

S=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12casin⁡BS=\frac12ab\sin C=\frac12bc\sin A=\frac12ca\sin B

ヘロンの公式（3辺から）：s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}{2} として

S=s(s−a)(s−b)(s−c)S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
CACBHbaAH＝b sinCS＝½·a·b sinC
A から BC におろした高さ AH は bsin⁡Cb\sin C

証明①：S＝½ab sinC

A から BC に垂線 AH をおろすと、直角三角形 AHC で AH=bsin⁡CAH=b\sin C（三角比の定義）。底辺 aa、高さ bsin⁡Cb\sin C なので S=12absin⁡CS=\dfrac12ab\sin C。CC が鈍角でも sin⁡(180∘−C)=sin⁡C\sin(180^\circ-C)=\sin C なので同じ式が成り立ちます。

証明②：ヘロンの公式

S=12absin⁡CS=\dfrac12ab\sin C を2乗して、sin⁡2C=1−cos⁡2C\sin^2C=1-\cos^2C、余弦定理 cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} を使います。

16S2=4a2b2−(a2+b2−c2)2={2ab−(a2+b2−c2)}{2ab+(a2+b2−c2)}={c2−(a−b)2}{(a+b)2−c2}=(c−a+b)(c+a−b)(a+b−c)(a+b+c)\begin{aligned}16S^2&=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2\\&=\{2ab-(a^2+b^2-c^2)\}\{2ab+(a^2+b^2-c^2)\}\\&=\{c^2-(a-b)^2\}\{(a+b)^2-c^2\}\\&=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)\end{aligned}

a+b+c=2sa+b+c=2s、−a+b+c=2(s−a)-a+b+c=2(s-a)、a−b+c=2(s−b)a-b+c=2(s-b)、a+b−c=2(s−c)a+b-c=2(s-c) なので 16S2=16s(s−a)(s−b)(s−c)16S^2=16s(s-a)(s-b)(s-c)。（因数分解には和と差の積を2回使っています。）

ABC131514高さ12s＝(13＋14＋15)÷2＝21√(21·8·7·6)＝√7056S＝84
3辺が 13、14、15 の三角形。高さ12で面積84、ヘロンの公式でも84

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

大学受験

例題1（2辺と間の角）

a=5a=5、b=6b=6、C=60∘C=60^\circ の △ABC の面積を求めなさい。

解き方

S=12⋅5⋅6⋅sin⁡60∘=15⋅32=1532S=\dfrac12\cdot5\cdot6\cdot\sin60^\circ=15\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{15\sqrt3}{2}。

答え　1532\dfrac{15\sqrt3}{2}

大学受験

例題2（ヘロンの公式）

3辺が 5、6、7 の三角形の面積を求めなさい。

解き方

s=9s=9。S=9⋅4⋅3⋅2=216=66S=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=\sqrt{216}=6\sqrt6。

答え　666\sqrt6

大学受験

例題3（内接円の半径へ）

3辺が 5、6、7 の三角形の内接円の半径を求めなさい。

解き方

例題2より S=66S=6\sqrt6。内接円の半径の公式 r=2Sa+b+cr=\dfrac{2S}{a+b+c} より r=12618=263r=\dfrac{12\sqrt6}{18}=\dfrac{2\sqrt6}{3}。

答え　263\dfrac{2\sqrt6}{3}

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

ヘロンの公式の ss を周の長さにしてしまう。ss は周の半分だ。

  • 角が2辺の間でない：12absin⁡C\dfrac12ab\sin C の CC は辺 aa と bb にはさまれた角。
  • ヘロンの ss を周の長さにする：ss は周の半分。

練習問題

ひらめいたうかるくん

うかるくん

3辺しか分からないなら、ヘロンの公式だね。

  1. 大学受験 b=4b=4、c=6c=6、A=150∘A=150^\circ の三角形の面積は？
    答えと解説を見る12⋅4⋅6⋅12=6\dfrac12\cdot4\cdot6\cdot\dfrac12=6
  2. 大学受験 3辺が 3、4、5 の三角形の面積をヘロンの公式で求めなさい。
    答えと解説を見るs=6s=6、6⋅3⋅2⋅1=6\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=6
  3. 大学受験 1辺が 2 の正三角形の面積を 12absin⁡C\dfrac12ab\sin C で求めなさい。
    答えと解説を見る12⋅2⋅2⋅32=3\dfrac12\cdot2\cdot2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3

関連する公式

よくある質問

2辺とその間の角から三角形の面積を求める公式は？

S=1/2 ab sinC です。高さが b sinC になることから導けます。

ヘロンの公式とは？

3辺 a, b, c から面積を求める公式で、s=(a+b+c)/2 として S=√(s(s−a)(s−b)(s−c)) です。

ヘロンの公式はどうやって証明しますか？

S=1/2 ab sinC を2乗し、sin²C=1−cos²C と余弦定理を使って因数分解すると導けます。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅰ（図形と計量）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦