ベクトルと三角形の面積の公式｜S＝½√(|a|²|b|²−(a·b)²)＝½|a₁b₂−a₂b₁|の証明・座標・空間の例題【数学C・大学受験】

ベクトルと三角形の面積の公式｜S＝½√(|a|²|b|²−(a·b)²)＝½|a₁b₂−a₂b₁|の証明・座標・空間の例題【数学C・大学受験】

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大学受験

S=12∣a⃗∣2∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2=12∣a1b2−a2b1∣S=\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}=\frac12\left|a_1b_2-a_2b_1\right|

a⃗=(a1, a2)\vec a=(a_1,\ a_2)、b⃗=(b1, b2)\vec b=(b_1,\ b_2) は始点をそろえた2辺のベクトル

この公式のポイント

  • S=12∣a⃗∣2∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2S=\dfrac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}：大きさと内積だけで面積
  • 平面ならS=12∣a1b2−a2b1∣S=\dfrac12|a_1b_2-a_2b_1|（絶対値を忘れない）
  • 12∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ\dfrac12|\vec a||\vec b|\sin\theta と内積の定義から証明
  • 2辺のベクトルは始点をそろえる。空間は√の形
うかるくん

うかるくん

12∣a1b2−a2b1∣\dfrac12|a_1b_2-a_2b_1| は、どうして成り立つの？

合格先生

合格先生

12∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ\dfrac12|\vec a||\vec b|\sin\theta を内積で書きかえて成分を入れると、ルートの中が2乗の形になるんだ。

ベクトルで表す三角形の面積の公式

△OAB で OA→=a⃗\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a、OB→=b⃗\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b とすると、面積 SS は大きさと内積だけで表せます。さらに平面なら成分だけで表せます。

△OAB の面積（OA→=a⃗, OB→=b⃗\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a,\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b）

S=12∣a⃗∣2∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2S=\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}

平面で a⃗=(a1, a2)\vec a=(a_1,\ a_2)、b⃗=(b1, b2)\vec b=(b_1,\ b_2) のとき

S=12∣a1b2−a2b1∣S=\frac12\left|a_1b_2-a_2b_1\right|

3点 A、B、C の三角形なら、a⃗=AB→\vec a=\overrightarrow{\mathrm{AB}}、b⃗=AC→\vec b=\overrightarrow{\mathrm{AC}} のように始点をそろえて使う。

θOABab高さ＝OB sinθS＝½·OA·OB·sinθ
△OAB の高さは ∣b⃗∣sin⁡θ|\vec b|\sin\theta。面積は 12∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ\frac12|\vec a||\vec b|\sin\theta

証明

① 大きさと内積の形：a⃗\vec a と b⃗\vec b のなす角を θ\theta（0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ）とすると、三角形の面積の公式より S=12∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θS=\dfrac12|\vec a||\vec b|\sin\theta。sin⁡θ>0\sin\theta>0 なので sin⁡θ=1−cos⁡2θ\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} です。内積の定義 a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta を使うと

S=12∣a⃗∣∣b⃗∣1−cos⁡2θ=12∣a⃗∣2∣b⃗∣2−∣a⃗∣2∣b⃗∣2cos⁡2θ=12∣a⃗∣2∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2\begin{aligned}S&=\frac12|\vec a||\vec b|\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-|\vec a|^2|\vec b|^2\cos^2\theta}\\&=\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}\end{aligned}

② 成分の形：∣a⃗∣2=a12+a22|\vec a|^2=a_1^2+a_2^2、∣b⃗∣2=b12+b22|\vec b|^2=b_1^2+b_2^2、a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2（成分の公式）を代入します。

∣a⃗∣2∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2=(a12+a22)(b12+b22)−(a1b1+a2b2)2=a12b12+a12b22+a22b12+a22b22−a12b12−2a1b1a2b2−a22b22=a12b22−2a1b2⋅a2b1+a22b12=(a1b2−a2b1)2\begin{aligned}|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2&=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2\\&=a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2-a_1^2b_1^2-2a_1b_1a_2b_2-a_2^2b_2^2\\&=a_1^2b_2^2-2a_1b_2\cdot a_2b_1+a_2^2b_1^2\\&=(a_1b_2-a_2b_1)^2\end{aligned}

X2=∣X∣\sqrt{X^2}=|X| なので S=12∣a1b2−a2b1∣S=\dfrac12|a_1b_2-a_2b_1|。a1b2−a2b1a_1b_2-a_2b_1 は負になることもあるので、絶対値が必要です。

② の形は平面ベクトル専用です。空間ベクトルでは、① の形をそのまま使います（① は角と内積だけで証明したので、空間でも成り立ちます）。

12345123231.5OA(4,1)B(1,3)長方形 12 −(2＋3＋1.5)＝5.5公式：½|4·3−1·1|＝11/2＝5.5
O(0,0)、A(4,1)、B(1,3) の三角形：長方形から引く方法と公式が一致する

大学受験（数学C）での使い方

大学受験

例題1（大きさと内積から）

∣a⃗∣=3|\vec a|=3、∣b⃗∣=4|\vec b|=4、a⃗⋅b⃗=6\vec a\cdot\vec b=6 のとき、OA→=a⃗\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a、OB→=b⃗\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b である △OAB の面積を求めなさい。

解き方

S=1232⋅42−62=12144−36=12108=12⋅63=33S=\dfrac12\sqrt{3^2\cdot4^2-6^2}=\dfrac12\sqrt{144-36}=\dfrac12\sqrt{108}=\dfrac12\cdot6\sqrt3=3\sqrt3。

答え　333\sqrt3

大学受験

例題2（3点の座標から）

3点 A(1, 2)、B(4, 3)、C(2, 6) を頂点とする △ABC の面積を求めなさい。

解き方

始点を A にそろえて AB→=(3, 1)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,\ 1)、AC→=(1, 4)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,\ 4)。

S=12∣3⋅4−1⋅1∣=112S=\dfrac12|3\cdot4-1\cdot1|=\dfrac{11}{2}。

答え　112\dfrac{11}{2}

大学受験

例題3（空間の三角形）

空間の3点 A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3) を頂点とする △ABC の面積を求めなさい。

解き方

AB→=(−1, 2, 0)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,\ 2,\ 0)、AC→=(−1, 0, 3)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\ 0,\ 3)。

∣AB→∣2=5|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2=5、∣AC→∣2=10|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2=10、AB→⋅AC→=1+0+0=1\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=1+0+0=1。

S=125⋅10−12=1249=72S=\dfrac12\sqrt{5\cdot10-1^2}=\dfrac12\sqrt{49}=\dfrac72。

答え　72\dfrac72

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

成分の公式 12∣a1b2−a2b1∣\dfrac12|a_1b_2-a_2b_1| は平面だけだ。空間では大きさと内積の形を使おう。

  • 絶対値をつけ忘れる：a1b2−a2b1a_1b_2-a_2b_1 が負だと面積が負になってしまう。
  • 空間で成分の公式を使う：12∣a1b2−a2b1∣\dfrac12|a_1b_2-a_2b_1| は平面だけ。空間では 12∣a⃗∣2∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2\dfrac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2} を使う。
  • 原点が頂点でないのに位置ベクトルをそのまま使う：△ABC なら OB→\overrightarrow{\mathrm{OB}}、OC→\overrightarrow{\mathrm{OC}} ではなく AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}}、AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} を使う。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

始点をそろえるのがコツなんだね。

  1. 大学受験 ∣a⃗∣=2|\vec a|=2、∣b⃗∣=5|\vec b|=5、a⃗⋅b⃗=−5\vec a\cdot\vec b=-5 のとき、OA→=a⃗\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a、OB→=b⃗\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b である △OAB の面積は？
    答えと解説を見る124⋅25−25=1275=532\dfrac12\sqrt{4\cdot25-25}=\dfrac12\sqrt{75}=\dfrac{5\sqrt3}{2}
  2. 大学受験 O(0, 0)、A(5, 2)、B(−1, 3) のとき △OAB の面積は？
    答えと解説を見る12∣5⋅3−2⋅(−1)∣=172\dfrac12|5\cdot3-2\cdot(-1)|=\dfrac{17}{2}
  3. 大学受験 A(2, −1)、B(5, 3)、C(−1, 4) のとき △ABC の面積は？
    答えと解説を見るAB→=(3, 4)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,\ 4)、AC→=(−3, 5)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-3,\ 5)。12∣3⋅5−4⋅(−3)∣=272\dfrac12|3\cdot5-4\cdot(-3)|=\dfrac{27}{2}

関連する公式

よくある質問

ベクトルで三角形の面積を求める公式は？

△OABで OA=a、OB=b とすると S=1/2√(|a|²|b|²−(a·b)²) です。平面で成分が a=(a1,a2)、b=(b1,b2) なら S=1/2|a1b2−a2b1| です。

この公式はどうやって証明しますか？

S=1/2|a||b|sinθ に sinθ=√(1−cos²θ) と内積の定義 a·b=|a||b|cosθ を代入すると得られます。成分の形は、√の中を成分で計算すると (a1b2−a2b1)² になることから導けます。

空間の三角形でも使えますか？

S=1/2√(|a|²|b|²−(a·b)²) は空間でも使えます。成分の公式 1/2|a1b2−a2b1| は平面だけです。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学C（ベクトル）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦