点と直線の距離の公式｜d=|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²) の証明（法線ベクトル）と三角形の面積・接線の例題【大学受験 数学Ⅱ】

うかるくん

点と直線の距離の公式って、どうやって導けばいいの？

合格先生

直線に垂直なベクトル $(a,\ b)$ を使うんだ。垂線の足を $t(a,\ b)$ で表し、$t$ を求めるぞ。

点と直線の距離の公式

証明（法線ベクトルを使う）

直線 $ax+by+c=0$ に垂直なベクトルは $\vec n=(a,\ b)$ です（直線上の2点の差 $(x_2-x_1,\ y_2-y_1)$ と内積をとると $a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=0$ になるため）。

垂線の足を H$(x_0,\ y_0)$ とすると、$\vec{HP}$ は $\vec n$ と平行なので $\vec{HP}=t\,\vec n$、つまり

H は直線上にあるので $ax_0+by_0+c=0$。ここに $x_0=x_1-ta$、$y_0=y_1-tb$ を入れると、

距離は $|\vec{HP}|=|t|\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。

点が直線上にあれば分子は0（距離0）。分子の符号は、点が直線のどちら側にあるかを表しています。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

円と直線の位置関係（距離と半径をくらべる）、接線、三角形の面積（底辺＝2点間の距離、高さ＝点と直線の距離）などで使います。

よくある間違い

合格先生

$y=mx+n$ のまま使うのは×だ。必ず $ax+by+c=0$ の形にしてから使おう。

• $y=mx+n$ のまま使う：必ず $ax+by+c=0$ の形にする。
• 絶対値を忘れる：距離は正。
• 分母の $\sqrt{\ }$ を忘れる：$\sqrt{a^2+b^2}$。

練習問題

合格先生

絶対値と分母のルートを忘れるなよ。

1. 大学受験 点 $(1,\ -2)$ と直線 $3x+4y-5=0$ の距離を求めなさい。
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   $\dfrac{|3-8-5|}{5}=2$。答え $2$
2. 大学受験 平行な2直線 $x+y-1=0$ と $x+y+3=0$ の距離を求めなさい。
   答えと解説を見る

   1つ目の上の点 $(1,\ 0)$ と2つ目の距離 $\dfrac{|1+0+3|}{\sqrt2}=2\sqrt2$。答え $2\sqrt2$
3. 大学受験 円 $x^2+y^2=4$ と直線 $x+y=k$ が接するような $k$ を求めなさい。
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   中心 $(0,0)$ と直線の距離 $\dfrac{|k|}{\sqrt2}$ が半径2と等しい。$|k|=2\sqrt2$。答え $k=\pm2\sqrt2$

関連する公式

• 円の方程式（円と直線の位置関係）
• ベクトルの内積（法線ベクトル）
• 一次関数（直線の式）
• 三角形の面積
• 絶対値と不等式
• 円と直線の位置関係

よくある質問

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