絶対値の意味と外し方｜絶対値の不等式は「距離」で解く・三角不等式の証明と例題【中学数学〜数学Ⅰ・受験】

絶対値とは：0からの距離

数 $a$ の絶対値 $|a|$ は、数直線上で0からの距離です。距離なので、いつも0以上です。

$a<0$ のとき $|a|=-a$ となるのは、$-a$ が正の数になるからです（例：$|-5|=-(-5)=5$）。

絶対値の不等式は「距離」で読む

$|x-3|<2$ を場合分けで解くこともできますが、「3からの距離が2未満」と読めば、数直線を見るだけで $1<x<5$ と分かります。$|x-3|\ge2$ なら、その外側の $x\le1$ または $x\ge5$ です。

証明：三角不等式 |a+b| ≦ |a|+|b|

両辺とも0以上なので、2乗して大小をくらべます。

$$(|a|+|b|)^2-|a+b|^2=(a^2+2|a||b|+b^2)-(a^2+2ab+b^2)=2(|ab|-ab)\ge0$$

$ab\le|ab|$ はいつも成り立つ（$ab$ が負なら $|ab|$ のほうが大きく、0以上なら等しい）ので、$|a+b|\le|a|+|b|$。等号は $ab\ge0$（同じ符号か、どちらかが0）のとき。

意味：数直線で「0 から $a$ 進み、さらに $b$ 進む」とき、到着点の0からの距離 $|a+b|$ は、進んだ道のりの合計 $|a|+|b|$ をこえない、ということです。

高校受験（中学数学）での使い方

絶対値は中学1年で学びます（正の数・負の数）。

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

よくある間違い

• $|x|>r$ を $-r<x<r$ にする：「より大きい」は外側、「より小さい」は内側。
• $\sqrt{a^2}=a$ とする：$a$ が負のときは $-a$。正しくは $|a|$。
• 場合分けの範囲を確かめない：出た答えがその場合の範囲に入っているか確認する。

練習問題

1. 高校受験 絶対値が 3.5 より小さい整数は何個ありますか。
   答えと解説を見る

   $-3$ から $3$ まで。答え $7$ 個
2. 大学受験 不等式 $|x+1|le4$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $-4le x+1le4$。答え $-5le xle3$
3. 大学受験 $|x-1|+|x-5|$ の最小値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   1と5からの距離の和。$1le xle5$ のとき最小で $4$。答え $4$

関連する公式

• 平方根の計算（$\sqrt{a^2}=|a|$）
• 一次関数（$y=|x|$ のグラフは折れ線）
• 点と直線の距離（公式に絶対値が入る）
• 相加平均・相乗平均（不等式の証明）
• ベクトルの内積（$|\vec a|$ は大きさ）
• 不等式の証明

よくある質問

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• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）