相加平均と相乗平均の関係｜(a+b)/2≧√ab の証明（2乗・半円の図）と最小値の例題・等号の注意【大学受験 数学Ⅱ】

相加平均と相乗平均の関係

2つの正の数 $a,\ b$ について、足して2で割った $\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均、かけて平方根をとった $\sqrt{ab}$ を相乗平均といいます。

証明1：引いて2乗の形にする

$$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{2}\ge0$$

2乗はいつも0以上なので、相加平均は相乗平均以上です。等号は $\sqrt a=\sqrt b$、つまり $a=b$ のときだけ。「差をとって、実数の2乗は0以上」は不等式の証明の基本の型です。

証明2：半円の図で見る

長さ $a$ と $b$ をつないだ直径の半円をかきます。つなぎ目から垂線を立てて半円とぶつかるまでの長さを $h$ とすると、直径の円周角は90°なので直角三角形の相似から $h^2=ab$、$h=\sqrt{ab}$。一方、半径は $\dfrac{a+b}{2}$。垂線の長さは半径より長くなれないので $\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}$。つなぎ目が中心（$a=b$）のときだけ等しくなります。

最小値を求めるときの使い方

積が一定なら、和の最小値が分かります：$ab=k$（一定）なら $a+b\ge2\sqrt k$。特に $x>0$ のとき

$$x+\frac1x\ge2\sqrt{x\cdot\frac1x}=2$$

（等号は $x=1$）。必ず等号が成り立つ $x$ があることを確かめるのがポイントです。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある失敗：$(a+b)\ge2\sqrt{ab}$ と $\left(\dfrac1a+\dfrac4b\right)\ge2\sqrt{\dfrac4{ab}}$ を別々に使ってかけると「$\ge8$」になりますが、2つの等号（$a=b$ と $b=4a$）が同時に成り立たないので、8 は最小値ではありません。

よくある間違い

• 負の数に使う：$a,\ b$ は正の数でないといけない。
• 等号が成り立つか確かめない：最小値と言えるのは、等号になる値が実際にあるときだけ。
• 積が一定でないのに使う：$x+\dfrac{1}{x^2}$ などは、そのままでは使えない。

練習問題

1. 大学受験 $x>0$ のとき、$4x+\dfrac1x$ の最小値を求めなさい。
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   $\ge2\sqrt{4}=4$。等号は $4x=\dfrac1x$、$x=\dfrac12$。答え $4$
2. 大学受験 周の長さが $20$ の長方形の面積の最大値を求めなさい。
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   たて $a$、横 $b$ で $a+b=10$。$\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}=5$ より $ab\le25$。等号は $a=b=5$（正方形）。答え $25$
3. 大学受験 $a>0,\ b>0$、$ab=16$ のとき、$a+b$ の最小値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $a+b\ge2\sqrt{16}=8$。等号は $a=b=4$。答え $8$

関連する公式

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• 二次関数の頂点（平方完成）（最大・最小）
• 円周角の定理（半円の図の証明）
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よくある質問

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