不等式の証明のしかた｜差をとって2乗の和に・両辺を2乗して比べる・コーシー・シュワルツと等号成立条件の例題【数学Ⅱ・大学受験】

不等式の証明の基本方針

証明①：a²＋b² ≧ 2ab と a²＋b²＋c² ≧ ab＋bc＋ca

$$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0$$

よって $a^2+b^2\ge2ab$。等号は $a=b$ のとき。

図から $(a+b)^2=4ab+(a-b)^2\ge4ab$。展開して $a^2+2ab+b^2\ge4ab$、つまり $a^2+b^2\ge2ab$ と同じことです。

3文字の場合は、差を2倍すると2乗の和になります。

$$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0$$

等号は $a=b=c$ のとき。このように「2乗の和」の形にできれば0以上と言えます。

証明②：両辺が正なら2乗して比べる

$a>0,\ b>0$ のとき $\sqrt a+\sqrt b>\sqrt{a+b}$ を示します。両辺とも正なので2乗の差をとると、

$$(\sqrt a+\sqrt b)^2-(\sqrt{a+b})^2=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)=2\sqrt{ab}>0$$

図で見ると、三平方の定理で斜辺は $\sqrt{a+b}$。「2辺の和は残りの1辺より長い」ことと同じです。

コーシー・シュワルツの不等式

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=(ay-bx)^2\ge0$$

よって $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$。等号は $ay=bx$ のとき。ベクトルの内積で $|\vec p||\vec q|\ge\vec p\cdot\vec q$ と見ることもできます。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

• 負の数をふくむのに2乗して比べる：両辺が正（0以上）のときだけ使える。
• 等号の条件を書かない：「≧」の証明では等号成立の条件まで答える。
• 結論を使って証明する：示したい不等式から変形を始めない。差をとって0以上を示す。

練習問題

1. 大学受験 $a^2+4b^2\ge4ab$ を証明しなさい。
   答えと解説を見る

   差 $=(a-2b)^2\ge0$。等号は $a=2b$
2. 大学受験 $a>0$ のとき $a+\dfrac1a\ge2$ を証明しなさい。
   答えと解説を見る

   差 $=\dfrac{a^2-2a+1}{a}=\dfrac{(a-1)^2}{a}\ge0$。等号は $a=1$
3. 大学受験 $x^2+y^2=4$ のとき、$x+y$ の最大値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $(1+1)(x^2+y^2)\ge(x+y)^2$ より $(x+y)^2\le8$。最大値 $2\sqrt2$

関連する公式

• 相加平均・相乗平均
• 絶対値と不等式（三角不等式）
• 乗法公式（$(a-b)^2$ の展開）
• ベクトルの内積（コーシー・シュワルツ）
• 二次関数の頂点（平方完成）
• コーシー・シュワルツの不等式
• イェンセンの不等式

よくある質問

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