二次関数の頂点の求め方（平方完成）｜頂点の公式の導き方・軸・最大最小と例題【高校受験〜大学受験】

二次関数の頂点を求める公式

$y=ax^2+bx+c$ のグラフは放物線です。$y=a(x-p)^2+q$ の形に直すと、頂点と軸がすぐに読み取れます。この変形を平方完成といいます。

なぜ y=a(x−p)²+q の頂点は (p, q) なのか

$y=a(x-p)^2+q$ で、$(x-p)^2$ は2乗なのでいつも0以上、0になるのは $x=p$ のときだけです。$a>0$ なら、$x=p$ のとき $y$ は最小値 $q$ をとり、それ以外ではそれより大きくなります。だから $(p,\ q)$ が放物線のいちばん下の点＝頂点です。グラフで見ると、$y=ax^2$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものです。

平方完成のやり方（導き方）

$x^2+2kx=(x+k)^2-k^2$ という形を使います（$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$ だから、余分な $k^2$ を引く）。

$$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\&=a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right\}+c\\&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c\\&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\end{aligned}$$

手順は「① $x^2$ の係数でくくる → ② $x$ の係数の半分を2乗して足して引く → ③ 外に出す」です。この計算は、二次方程式の解の公式を導くときと同じです。

高校受験（中学3年）では

中学3年では $y=ax^2$（頂点が原点の放物線）を学びます。高校入試では、放物線と直線の交点、三角形の面積、変化の割合がよく出ます。$y=ax^2$ の変化の割合は $a(x_1+x_2)$ になります。

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

数学Ⅰの「二次関数」では、平方完成で頂点を求め、最大値・最小値、グラフの平行移動・対称移動、二次不等式、解の配置などを考えます。

よくある間違い

• $y=(x-2)^2+1$ の頂点を $(-2,\ 1)$ にする：$(x-p)^2$ の頂点は $x=p$。かっこの中の符号と逆。
• くくるときに定数項までくくる：$x^2$ と $x$ の項だけをくくる。
• 引いた分にも $a$ をかけ忘れる：$2\{(x-2)^2-4\}$ は $-8$ になる。

練習問題

1. 大学受験 $y=x^2+4x+1$ の頂点を求めなさい。
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   $(x+2)^2-4+1=(x+2)^2-3$。答え $(-2,\ -3)$
2. 大学受験 $y=-3x^2+6x+2$ の最大値を求めなさい。
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   $-3(x^2-2x)+2=-3\{(x-1)^2-1\}+2=-3(x-1)^2+5$。答え 最大値 $5$（$x=1$）
3. 大学受験 頂点が $(1,\ 4)$ で、点 $(3,\ 0)$ を通る放物線の式を求めなさい。
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   $y=a(x-1)^2+4$ に $(3,\ 0)$ を入れて $0=4a+4$、$a=-1$。答え $y=-(x-1)^2+4$

関連する公式

• 二次方程式の解の公式（同じ平方完成で導く）
• 一次関数
• 乗法公式と因数分解の公式
• 2次不等式
• 2次関数の最大・最小（場合分け）

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よくある質問

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