2次不等式の解き方｜「＞0は外側・＜0は内側」になる理由（グラフと符号表）・判別式D＜0・つねに成り立つ条件と例題【数学Ⅰ・大学受験】

うかるくん

2次不等式の答え、外側と内側をよく逆にしちゃうんだ。

合格先生

グラフで考えよう。下に凸の放物線が $x$ 軸より下なのは、2つの交点の間だけだ。

2次不等式の解（a＞0）

$ax^2+bx+c=0$（$a>0$）が異なる2つの実数解 $\alpha<\beta$ をもつとき、

証明：グラフと符号で考える

$a>0$ なら $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できます。$x-\alpha$ と $x-\beta$ の符号を表にすると、

積が負になるのは $\alpha<x<\beta$ だけ。$a>0$ をかけても符号は変わりません。グラフで言えば、下に凸の放物線が $x$ 軸より下にあるのは2つの交点の間だけ、ということです（二次関数のグラフ）。

$D<0$ のときはグラフが $x$ 軸と交わらず、いつも $x$ 軸より上にあるので、$ax^2+bx+c>0$ はすべての実数で成り立ちます。

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

よくある間違い

合格先生

$x^2$ の係数が負のまま解くのは×だ。$-1$ をかけて、不等号の向きを変えよう。

• $x^2$ の係数が負のまま解く：両辺に $-1$ をかけて正にしてから（不等号の向きが変わる）。
• 「＞0」と「＜0」の内外を逆にする：グラフをかいて確かめる。
• $D<0$ で「解なし」と決めつける：$>0$ ならすべての実数。

練習問題

うかるくん

まず放物線をかけば、もう迷わないね！

1. 大学受験 不等式 $x^2-5x+4\le0$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $(x-1)(x-4)\le0$。答え $1\le x\le4$
2. 大学受験 不等式 $-x^2+2x+8>0$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $x^2-2x-8<0$、$(x+2)(x-4)<0$。答え $-2<x<4$
3. 大学受験 不等式 $x^2+4x+4>0$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $(x+2)^2>0$。答え $x=-2$ 以外のすべての実数

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