二次方程式の解の公式｜x=(−b±√(b²−4ac))/2a の導き方・判別式・覚え方と例題【高校受験〜大学受験】

二次方程式の解の公式｜x=(−b±√(b²−4ac))/2a の導き方・判別式・覚え方と例題【高校受験〜大学受験】

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高校受験大学受験

x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ax2+bx+c=0(aeq0)ax^2+bx+c=0 (a eq0) の解

この公式のポイント

  • 因数分解できなくても、a, b, ca,\ b,\ c を入れれば必ず解ける公式
  • 平方完成で導ける。忘れても作り直せる
  • ルートの中の b2−4acb^2-4ac（判別式 DD）で解の個数が分かる
  • bb が偶数なら x=−b′±b′2−acax=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a} で計算が楽
うかるくん

うかるくん

解の公式って長いから、すぐ忘れちゃうよ。どうしよう？

合格先生

合格先生

解の公式は平方完成で導けるんだ。忘れても、自分で作り直せば大丈夫だぞ。

二次方程式の解の公式

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0（a≠0a\neq0）の形の方程式を二次方程式といいます。因数分解できないときでも、次の解の公式に a, b, ca,\ b,\ c を入れれば、必ず解が求められます。

二次方程式の解の公式

ax2+bx+c=0 の解はx=−b±b2−4ac2aax^2+bx+c=0\ \text{の解は}\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

xx の係数が偶数（b=2b′b=2b'）のときは、次の形を使うと計算が楽になります。

ax2+2b′x+c=0 の解はx=−b′±b′2−acaax^2+2b'x+c=0\ \text{の解は}\quad x=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}
記号意味例 2x2−3x−1=02x^2-3x-1=0 では
aax2x^2 の係数（0ではない）22
bbxx の係数−3-3
cc定数項−1-1
±\pm「プラスまたはマイナス」。解が2つ出るx=3±174x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{4}

なぜこの公式になるのか（平方完成で導く）

解の公式は、平方完成（(x+□)2(x+\square)^2 の形を作ること）で導けます。両辺を aa で割ってから順に変形します。

ax2+bx+c=0x2+bax=−cax2+bax+(b2a)2=(b2a)2−ca(x+b2a)2=b2−4ac4a2x+b2a=±b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a\begin{aligned}ax^2+bx+c&=0\\ x^2+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\ x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2&=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ x+\frac{b}{2a}&=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{aligned}

3行目で両辺に (b2a)2\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 を足しているのがポイントです。左辺が「x+b2ax+\dfrac{b}{2a} の2乗」にまとまります。

x²kxkxk²xkxkx²＋2kxに k² を足すと(x＋k)²の正方形k＝b/2a
k=b2ak=\dfrac{b}{2a} とおくと、x2+bax=x2+2kxx^2+\dfrac{b}{a}x=x^2+2kx は正方形 x2x^2 と長方形 kxkx 2枚。角に k2k^2 を足すと、1辺 x+kx+k の正方形 (x+k)2(x+k)^2 になる

判別式 D：解がいくつあるかを見分ける

ルートの中の b2−4acb^2-4ac を判別式といい、DD で表します。DD の符号で、実数の解の個数が分かります。

判別式実数の解グラフ y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c と xx 軸
D>0D>0異なる2つ2点で交わる
D=0D=01つ（重解）1点で接する
D<0D<0ない交わらない
D＞0解は2つD＝0解は1つ（重解）D＜0実数の解はない
赤い点が xx 軸との交点＝方程式の実数の解

中学では D<0D<0 のとき「解なし」と答えます。高校の数学Ⅱでは虚数 ii（i2=−1i^2=-1）を使って、D<0D<0 でも解（虚数解）を表します。

歴史

二次方程式を「平方を完成させて」解く方法は、9世紀のバグダッドの数学者アル＝フワーリズミーの本に、正方形の図を使った説明として出てきます。「アルゴリズム」という言葉は、この人の名前から来ています。今の文字式の形の公式になったのは、もっと後の時代です。

覚え方のコツ

  • 「2a分の、マイナスb、プラマイ、ルート、b2乗マイナス4ac」とリズムで覚える。
  • 分母の 2a2a は、分子全体（−b-b も含む）の下にあることに注意。
  • 忘れたら平方完成で導き直せるようにしておくと安心です。

高校受験（中学3年）での使い方

解の公式は中学3年で学びます。高校入試では、まず因数分解できるかを考え、できなければ解の公式を使います。答えのルートは、できるだけ簡単にし、約分も忘れないようにします。

高校受験

例題1（基本）

x2+5x+3=0x^2+5x+3=0 を解きなさい。

解き方

a=1, b=5, c=3a=1,\ b=5,\ c=3 なので、x=−5±25−122=−5±132x=\dfrac{-5\pm\sqrt{25-12}}{2}=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{2}。

答え　x=−5±132x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{2}

高校受験

例題2（bが偶数）

x2−6x+4=0x^2-6x+4=0 を解きなさい。

解き方

b=−6=2×(−3)b=-6=2\times(-3) なので b′=−3b^{\prime}=-3。x=3±9−41=3±5x=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4}}{1}=3\pm\sqrt{5}。

（ふつうの公式でも x=6±202=6±252=3±5x=\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2}=\dfrac{6\pm2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5} と同じ答えになります）

答え　x=3±5x=3\pm\sqrt{5}

大学受験（数学Ⅰ・Ⅱ）での使い方

高校では、判別式を使って「解をもつ条件」「重解をもつ条件」を求める問題や、解と係数の関係 α+β=−ba\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}、αβ=ca\alpha\beta=\dfrac{c}{a} と組み合わせた問題がよく出ます。

大学受験

例題3（重解の条件）

x2+2kx+k+6=0x^2+2kx+k+6=0 が重解をもつような定数 kk の値を求めなさい。

解き方

重解をもつのは D=0D=0 のとき。bb が偶数なので D4=k2−(k+6)=0\dfrac{D}{4}=k^2-(k+6)=0。

k2−k−6=0k^2-k-6=0、(k−3)(k+2)=0(k-3)(k+2)=0 より k=3, −2k=3,\ -2。

答え　k=3, −2k=3,\ -2

大学受験

例題4（解と係数の関係）

x2−4x+1=0x^2-4x+1=0 の2つの解を α, β\alpha,\ \beta とするとき、α2+β2\alpha^2+\beta^2 の値を求めなさい。

解き方

解と係数の関係から α+β=4\alpha+\beta=4、αβ=1\alpha\beta=1。

α2+β2=(α+β)2−2αβ=16−2=14\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16-2=14。（解の公式で 2±32\pm\sqrt{3} を求めて代入しても同じです）

答え　1414

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

6±252\dfrac{6\pm2\sqrt{5}}{2} で6だけ割るのは×だ。分子の両方の項を2で割るぞ。

  • −b-b の符号：b=−3b=-3 なら −b=3-b=3。マイナスのマイナスに注意。
  • b2b^2 の計算：b=−3b=-3 のとき b2=9b^2=9（−9-9 ではない）。
  • 約分の間違い：6±252\dfrac{6\pm2\sqrt{5}}{2} は分子の両方の項を2で割って 3±53\pm\sqrt{5}。66 だけ割らない。
  • 移項し忘れ：x2=3x+1x^2=3x+1 のような式は、まず右辺を0にしてから a, b, ca,\ b,\ c を読む。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

bb が偶数なら、楽な公式も使ってみよう！

  1. 高校受験 2x2−3x−1=02x^2-3x-1=0 を解きなさい。
    答えと解説を見るx=3±9+84=3±174x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+8}}{4}=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{4}
  2. 高校受験 3x2+4x−2=03x^2+4x-2=0 を解きなさい。
    答えと解説を見るb=4=2×2b=4=2\times2 なので x=−2±4+63=−2±103x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+6}}{3}=\dfrac{-2\pm\sqrt{10}}{3}
  3. 大学受験 x2+x+1=0x^2+x+1=0 の解について調べなさい。
    答えと解説を見るD=1−4=−3<0D=1-4=-3<0 なので実数の解はありません（中学では「解なし」）。数学Ⅱでは x=−1±3 i2x=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}\,i}{2}。

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よくある質問

二次方程式の解の公式は？

ax²+bx+c=0（a≠0）の解は、x=(−b±√(b²−4ac))/2a です。

解の公式はどうやって導くのですか？

両辺を a で割り、(b/2a)² を両辺に足して左辺を (x+b/2a)² の形にする「平方完成」で導きます。

判別式とは何ですか？

解の公式のルートの中の b²−4ac のことで、D で表します。D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 なら重解、D<0 なら実数解はありません。

解の公式は何年生で習いますか？

中学3年生で習います。高校の数学Ⅰ・Ⅱでは判別式や虚数解、解と係数の関係とあわせて使います。

b が偶数のときの解の公式は？

ax²+2b'x+c=0 の解は x=(−b'±√(b'²−ac))/a です。約分の手間が減り、計算ミスも減ります。

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出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第3学年（二次方程式）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅰ・数学Ⅱ

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦