平方根（ルート）の計算｜√a√b=√ab の証明・有理化・√2が無理数であることの証明（背理法）と例題【高校受験〜大学受験】

平方根とは

2乗すると $a$ になる数を $a$ の平方根といいます。正の数 $a$ の平方根は正と負の2つあり、正の方を $\sqrt a$、負の方を $-\sqrt a$ と書きます。たとえば $9$ の平方根は $\pm3$、$2$ の平方根は $\pm\sqrt2$（$=\pm1.41421356\cdots$）。

平方根の計算の公式

√a×√b=√(ab) の証明

$\sqrt a\times\sqrt b$ を2乗すると、$(\sqrt a\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2(\sqrt b)^2=ab$。また $\sqrt a\sqrt b>0$。つまり $\sqrt a\sqrt b$ は「2乗すると $ab$ になる正の数」なので、$\sqrt{ab}$ そのものです。割り算も同じように示せます。

たし算ができない理由：$(\sqrt2+\sqrt3)^2=5+2\sqrt6$ で、5にはならないからです。

√2 が無理数であることの証明（背理法）

$\sqrt2$ が分数（有理数）で表せると仮定して、矛盾を導きます。

1. $\sqrt2=\dfrac pq$（$p,\ q$ はこれ以上約分できない自然数）とおく。
2. 両辺を2乗して $2=\dfrac{p^2}{q^2}$、つまり $p^2=2q^2$。$p^2$ は偶数なので、$p$ も偶数（奇数の2乗は奇数だから）。
3. $p=2m$ とおくと $4m^2=2q^2$、$q^2=2m^2$。同じ理由で $q$ も偶数。
4. $p$ も $q$ も偶数では、2で約分できることになり、「これ以上約分できない」に矛盾。

よって $\sqrt2$ は分数で表せない数（無理数）です。古代ギリシャで発見され、「すべての数は整数の比で表せる」と考えていたピタゴラス学派を驚かせたといわれます。

高校受験（中学3年）での使い方

平方根は中学3年で学びます。高校入試の計算問題では、ほぼ毎回出題されます。$\sqrt{\ }$ の中をできるだけ小さい自然数にし、分母に $\sqrt{\ }$ を残さないのが答えの形です。

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

よくある間違い

• $\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5$：たし算はまとめられない。
• $\sqrt{(-3)^2}=-3$：$\sqrt{\ }$ はいつも0以上なので $3$。
• 有理化で分子にかけ忘れる：分母と分子の両方に同じものをかける。

練習問題

1. 高校受験 $\sqrt{50}+\sqrt{32}-\sqrt{18}$ を計算しなさい。
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   $5\sqrt2+4\sqrt2-3\sqrt2=6\sqrt2$。答え $6\sqrt2$
2. 高校受験 $\dfrac{10}{\sqrt5}$ の分母を有理化しなさい。
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   $\dfrac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5$。答え $2\sqrt5$
3. 大学受験 $\dfrac{2}{\sqrt5-\sqrt3}$ の分母を有理化しなさい。
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   $\dfrac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3}=\sqrt5+\sqrt3$。答え $\sqrt5+\sqrt3$

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