有理数・無理数と循環小数｜分数が必ず循環する理由（余りは有限）・循環小数を分数に直す方法と例題【中学数学〜数学Ⅰ・受験】

うかるくん

分数を小数にすると、なぜ有限か循環になるの？

合格先生

筆算の余りは $n$ 種類しかない。0にならなければ、いつか同じ余りが出てくり返すんだ。

有理数・無理数と小数

証明：分数は必ず「有限」か「循環」になる

$m\div n$ の筆算では、各段で出る余りは $0,\ 1,\ \cdots,\ n-1$ の $n$ 種類しかありません。余りが0になれば割り切れて有限小数。0にならなければ、多くても $n$ 回のうちに同じ余りがもう一度出て、そこから先は同じ計算のくり返しになるので循環します。

有限小数になるのは、$\dfrac mn=\dfrac{\text{整数}}{10^k}$ と書けるとき。$10^k=2^k\cdot5^k$ なので、分母の素因数が2と5だけのときです。

循環小数を分数に直す

$x=0.363636\cdots$ とすると、$100x=36.3636\cdots$。引くと $99x=36$、$x=\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11}$。くり返す部分の長さだけ10倍して引くと、無限に続く部分が消えます（無限等比級数で考えても同じ）。

$\sqrt2$ が無理数であることの証明は平方根の計算のページにあります。

高校受験（中学数学）での使い方

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

よくある間違い

合格先生

$\sqrt{\ }$ がつけば無理数、ではないぞ。$\sqrt4=2$ は有理数だ。

• $\sqrt{\ }$ がつけば無理数とする：$\sqrt4=2$ は有理数。
• 循環しない部分があるときに引き方をまちがえる：$0.1\dot6$ は 100倍と10倍の差をとる。

練習問題

うかるくん

くり返す長さだけ10倍して引くんだな。

1. 大学受験 $0.\dot{2}\dot{7}=0.2727\cdots$ を分数で表しなさい。
   答えと解説を見る

   $\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}$
2. 高校受験 $\dfrac{9}{25}$ は有限小数ですか。
   答えと解説を見る

   $25=5^2$ なので有限小数（0.36）
3. 大学受験 $\dfrac17$ の小数第100位の数字は？
   答えと解説を見る

   6けたの周期 142857。$100=6\times16+4$ なので4番目の8

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