n進法（2進法・3進法）の変換のしかた｜割り続けて余りを下から読む理由の証明・小数のn進法・例題【中学受験〜大学受験】

Q: 10進法を2進法に直す方法は？

2で割り続け、出てきた余りを下から（最後に出た余りから）読みます。13なら1101です。

Q: なぜ余りを下から読むのですか？

最初に2で割った余りが一の位、次の余りが2の位…と、下の位から順に出てくるからです。

Q: 2進法を10進法に直す方法は？

各位の数に、その位の重み（1, 2, 4, 8, …）をかけて足します。1101なら8+4+0+1=13です。

Q: n進法で使える数字は？

0からn−1までです。2進法なら0と1、5進法なら0〜4です。

合格大作戦算数・数学公式辞典 › 数と式

中学受験大学受験

abc_{(n)}=a\,n^2+b\,n+c

10進法 → $n$ 進法は「 $n$ で割り続けて余りを下から」

この公式のポイント

$n$ 進法は $n$ 倍ごとに位が上がる。使う数字は $0$ 〜 $n-1$
$n$ 進法 → 10進法：各位× $n$ の累乗を足す
10進法 → $n$ 進法： $n$ で割り続けて余りを下から
「0〜4だけを使う数の並び」は5進法の問題

うかるくん

2で割った余りを並べるとき、なんで上からじゃなく下から読むの？

合格先生

最初に出る余りが一の位だからだ。割るたびに、一の位から順に位が決まっていくぞ。

n進法とは

ふだん使う10進法は、1, 10, 100, 1000 … と10倍ごとに位が上がる数の書き方です。 $n$ 進法は、 $1,\ n,\ n^2,\ n^3,\ \cdots$ と $n$ 倍ごとに位が上がる書き方で、使う数字は $0$ から $n-1$ までです。

n進法の数の意味

a_ka_{k-1}\cdots a_1a_0{}_{(n)}=a_k\,n^k+a_{k-1}\,n^{k-1}+\cdots+a_1\,n+a_0

例： $1101_{(2)}=1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1=13$

$n$ 進法 → 10進法：各位の数×位の重み（ $n$ の累乗）を足す
10進法 → $n$ 進法： $n$ で割り続け、余りを下から読む

10進法	2進法	3進法	5進法
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
8	1000	22	13
10	1010	101	20

2進法の位の重みは 8, 4, 2, 1。点灯したランプ（1）の重みを足すと10進法の数になる

証明：なぜ「割り続けて余りを下から読む」のか

13 を2で割り続けて、余りを下から読むと

1101_{(2)}

$N=a_k2^k+\cdots+a_2\cdot4+a_1\cdot2+a_0$ と書けたとします。 $a_0$ 以外はすべて2の倍数なので、 $N$ を2で割った余りが $a_0$ （一の位）です。商は $a_k2^{k-1}+\cdots+a_2\cdot2+a_1$ で、これをまた2で割った余りが $a_1$ 。くり返すと $a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$ の順に出てくるので、下から読むと正しい並びになります。

この方法では各位が必ず1通りに決まるので、どんな自然数も $n$ 進法でただ1通りに表せます。

小数の n進法

小数点より下は $\dfrac1n,\ \dfrac1{n^2},\ \cdots$ の位です。例： $0.101_{(2)}=\dfrac12+\dfrac18=\dfrac58$ 。10進法では割り切れない $\dfrac13$ も、3進法なら $0.1_{(3)}$ とすっきり書けます。

中学受験（算数）での使い方

中学受験では「0と1だけ」「ランプの点灯」「ある数字を使わない数の並び」などの形で、n進法の考え方がよく出ます。

中学受験

例題1（2進法）

10進法の 13 を2進法で表しなさい。また、2進法の

10110_{(2)}

を10進法で表しなさい。

解き方

2で割り続けると余りは 1, 0, 1, 1 → 下から読んで $1101_{(2)}$ 。

$10110_{(2)}=16+4+2=22$ 。

答え　 $1101_{(2)}$ 、 $22$

中学受験

例題2（使わない数字）

0, 1, 2, 3, 4 の5つの数字だけを使った整数を小さい順に 1, 2, 3, 4, 10, 11, … と並べます。100番目の数を求めなさい。

解き方

5種類の数字で書く＝5進法。100番目は、100を5進法で表した数です。

$100=4\times25+0\times5+0$ なので $400_{(5)}$ 。答えは $400$ 。

答え　 $400$

大学受験（数学A）での使い方

大学受験

例題3（3進法）

212_{(3)}

を10進法で表し、さらに5進法で表しなさい。

解き方

$2\cdot9+1\cdot3+2=23$ 。 $23\div5=4$ 余り 3、 $4\div5=0$ 余り 4 → $43_{(5)}$ 。

答え　 $23$ 、 $43_{(5)}$

大学受験

例題4（けた数）

10進法で 4けたの数は、2進法で何けたから何けたになりますか。

解き方

$1000\le N\le9999$ 。 $2^9=512<1000<1024=2^{10}$ 、 $2^{13}=8192\le9999<16384=2^{14}$ 。

$2^9\le N<2^{14}$ なので、2進法で10けたから14けた。

答え　10けた〜14けた

よくある間違い

合格先生

2進法で「2」を使ってはいけない。 $n$ 進法で使える数字は $0$ 〜 $n-1$ だけだ。

余りを上から読む：最初に出る余りは一の位。下から読む。
使えない数字を使う： $n$ 進法で使えるのは $0$ 〜 $n-1$ 。2進法に「2」はない。

練習問題

サクラちゃん

ランプの点灯だと思えば、2進法もこわくないよ。

中学受験 10進法の 25 を2進法で表しなさい。
答えと解説を見る
余り 1,0,0,1,1 を下から読む。答え $11001_{(2)}$
中学受験 2進法の $111111_{(2)}$ は10進法でいくつですか。
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$32+16+8+4+2+1=63$ （ $=2^6-1$ ）。答え $63$
大学受験 $0.11_{(2)}$ を10進法の分数で表しなさい。
答えと解説を見る
$\dfrac12+\dfrac14=\dfrac34$ 。答え $\dfrac34$

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よくある質問

10進法を2進法に直す方法は？