剰余の定理・因数定理｜余りが P(a) になる証明と三次式の因数分解・2次式で割った余りの例題【大学受験 数学Ⅱ】

うかるくん

割り算をしないで、どうして余りが $P(a)$ だと分かるの？

合格先生

$P(x)=(x-a)Q(x)+R$ に $x=a$ を入れると、商の部分が消えて $R=P(a)$ が残るんだ。

剰余の定理と因数定理

例：$P(x)=x^3-2x^2+3x-5$ を $x-2$ で割った余りは、割り算をしなくても $P(2)=8-8+6-5=1$ と分かります。

証明：割り算の式に x=a を入れる

$P(x)$ を $x-a$ で割った商を $Q(x)$、余りを $R$ とします。1次式で割った余りは定数（割る式より次数が低い）なので、

これは $x$ がどんな値でも成り立つ等式（恒等式）なので、$x=a$ を入れると $(x-a)$ の部分が0になって、

よって余りは $P(a)$。特に余りが0（割り切れる）$\iff P(a)=0$ が因数定理です。「割る式を0にする $x$ を入れれば、商の部分が消えて余りだけが残る」というのが本質です。

因数定理で三次式を因数分解する

$P(a)=0$ になる $a$ をさがします。候補は $\pm\dfrac{\text{定数項の約数}}{\text{最高次の係数の約数}}$ です（有理数の解はこの形しかないため）。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

合格先生

$x+2$ で割った余りを $P(2)$ にしてしまう。正しくは $P(-2)$ だぞ。

• 符号：$x+2$ で割った余りは $P(-2)$（$P(2)$ ではない）。
• 2次式で割った余りを定数にする：余りは1次式 $ax+b$ とおく。
• 因数定理の候補：定数項の約数（と分数）から、正と負の両方を試す。

練習問題

うかるくん

2次式で割った余りは $ax+b$ とおくんだね。

1. 大学受験 $x^3+3x^2-x+5$ を $x-1$ で割った余りを求めなさい。
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   $1+3-1+5=8$。答え $8$
2. 大学受験 $x^3-7x+6$ を因数分解しなさい。
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   $P(1)=0$ より $(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)$。答え $(x-1)(x-2)(x+3)$
3. 大学受験 $P(x)$ を $2x-1$ で割った余りを $P$ の値で表しなさい。
   答えと解説を見る

   $2x-1=0$ となる $x=\dfrac12$ を入れて $P\left(\dfrac12\right)$。

関連する公式

• 乗法公式と因数分解の公式
• 解と係数の関係（因数定理で証明）
• 二次方程式の解の公式
• ユークリッドの互除法
• 整数の性質（約数の個数・倍数の判定）
• 恒等式

よくある質問

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