因数分解の公式と乗法公式（展開）一覧｜和と差の積・たすき掛け・3次の公式と例題【高校受験〜大学受験】

中学受験高校受験大学受験

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a+b)(a-b)

ほかに $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ 、 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

この公式のポイント

左→右が展開（乗法公式）、右→左が因数分解
因数分解はまず共通因数、次に公式の形をさがす
$(a+b)^2$ は1辺 $a+b$ の正方形の面積。 $2ab$ を忘れない
算数の計算の工夫（ $53\times47$ など）にも使える

うかるくん

因数分解をするとき、最初にどんな形を探せばいいの？

合格先生

まず共通因数だ。くくったあとで、乗法公式を右から左に読んだ形を探そう。

乗法公式と因数分解の公式

かっこのついた式をかけ算して広げることを展開、反対に、たし算・ひき算の式をかけ算の形にまとめることを因数分解といいます。よく使う展開の形を乗法公式といい、それを右から左へ読んだものが因数分解の公式です。

中学で使う4つの公式

\begin{aligned}(x+a)(x+b)&=x^2+(a+b)x+ab\\ (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2\end{aligned}

左→右が展開（乗法公式）、右→左が因数分解です。

名前	因数分解の形	例
和と積	$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$	$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$
平方（和）	$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$	$x^2+6x+9=(x+3)^2$
平方（差）	$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$	$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$
和と差の積	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$	$x^2-9=(x+3)(x-3)$

なぜ成り立つのか（面積で見る）

1辺

a+b

の正方形を4つに分けると、

a^2+ab+ab+b^2

1辺が $a+b$ の正方形の面積は $(a+b)^2$ 。これを4つに分けると、 $a^2$ 、 $ab$ が2つ、 $b^2$ になるので $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ です。式では、分配法則で1つずつかけて確かめられます。

(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2

1辺

a

の正方形から1辺

b

の正方形を除いた

a^2-b^2

は、切って並べかえると、たて

a-b

・横

a+b

の長方形になる

因数分解の手順

共通因数をくくり出す（ $2x^2-8=2(x^2-4)$ ）
2乗の差なら 和と差の積（ $x^2-4=(x+2)(x-2)$ ）
$x^2+\square x+\triangle$ なら、たして $\square$ 、かけて $\triangle$ になる2つの数をさがす
最後に展開してもとにもどるか確かめる

中学受験（算数）では：計算の工夫

文字式の因数分解は中学で習いますが、同じしくみは算数の計算の工夫として使えます。

中学受験

例題1（和と差の積）

53\times47

をくふうして計算しなさい。

解き方

$53=50+3$ 、 $47=50-3$ なので、 $(50+3)\times(50-3)=50\times50-3\times3=2500-9=2491$ 。

答え　 $2491$

中学受験

例題2（分配法則）

3.14\times17+3.14\times23

を計算しなさい。

解き方

$3.14$ でまとめて $3.14\times(17+23)=3.14\times40=125.6$ 。（共通因数をくくり出すのと同じです）

答え　 $125.6$

高校受験（中学3年）での使い方

乗法公式と因数分解は中学3年で学びます。高校入試では、因数分解そのもの、二次方程式、式の値、数の性質の証明で使います。

高校受験

例題3（因数分解）

次の式を因数分解しなさい。(1)

x^2-x-12

　(2)

3x^2-27

解き方

(1) かけて $-12$ 、たして $-1$ になる2数は $3$ と $-4$ 。 $(x+3)(x-4)$ 。

(2) 共通因数3をくくり出して $3(x^2-9)=3(x+3)(x-3)$ 。

答え　(1) $(x+3)(x-4)$ 　(2) $3(x+3)(x-3)$

高校受験

例題4（式の値・計算の工夫）

102^2

と

x=97

のときの

x^2+6x+9

の値を求めなさい。

解き方

$102^2=(100+2)^2=10000+400+4=10404$ 。

$x^2+6x+9=(x+3)^2=100^2=10000$ 。

答え　 $10404$ 、 $10000$

大学受験（数学Ⅰ・Ⅱ）での使い方

数学Ⅰではたすき掛けと3次の公式を加えます。

acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

大学受験

例題5（たすき掛け）

2x^2+5x+3

を因数分解しなさい。

解き方

$2=2\times1$ 、 $3=3\times1$ として、 $2\times1+1\times3=5$ になる組み合わせをさがすと $(2x+3)(x+1)$ 。

答え　 $(2x+3)(x+1)$

大学受験

例題6（おきかえ）

x^4-5x^2+4

を因数分解しなさい。

解き方

$x^2=X$ とおくと $X^2-5X+4=(X-1)(X-4)$ 。

もどして $(x^2-1)(x^2-4)=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$ 。

答え　 $(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$

よくある間違い

合格先生

途中で止めるのは×。 $(x^2-1)(x^2-4)$ はまだ因数分解できるぞ。

$(a+b)^2=a^2+b^2$ としてしまう：まん中の $2ab$ を忘れない。
共通因数のくくり忘れ： $2x^2-8$ を $(\sqrt2x+\dots)$ のようにしない。まず2でくくる。
途中で止める： $(x^2-1)(x^2-4)$ はまだ因数分解できる。
符号の組み合わせ：かけて負になる2数は、一方が正・一方が負。

練習問題

サクラちゃん

$53\times47$ の計算にも使えるのね。

中学受験 $98\times102$ をくふうして計算しなさい。
答えと解説を見る
$(100-2)(100+2)=10000-4=9996$ 。答え $9996$
高校受験 $x^2+2x-15$ を因数分解しなさい。
答えと解説を見る
かけて $-15$ 、たして $2$ → $5$ と $-3$ 。答え $(x+5)(x-3)$
大学受験 $a^3-8$ を因数分解しなさい。
答えと解説を見る
$a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4)$ 。答え $(a-2)(a^2+2a+4)$

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よくある質問

因数分解の公式は？

x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)、a²+2ab+b²=(a+b)²、a²−2ab+b²=(a−b)²、a²−b²=(a+b)(a−b) の4つが基本です。

展開と因数分解のちがいは？

かっこの式をかけて広げるのが展開、たし算・ひき算の式をかけ算の形にまとめるのが因数分解です。同じ公式を逆向きに使います。

因数分解のコツは？

まず共通因数をくくり出し、次に2乗の差や x²+□x+△ の形を探します。最後に展開して確かめます。

たすき掛けとは何ですか？

x² の係数が1でない2次式を (ax+b)(cx+d) の形に因数分解する方法で、高校の数学Ⅰで学びます。

乗法公式は何年生で習いますか？

中学3年生で習います。高校の数学Ⅰでたすき掛けや3次の公式を学びます。