二項定理｜(a+b)ⁿ の展開と係数 nCr の証明（組合せで数える）・パスカルの三角形と例題【大学受験 数学Ⅱ】

二項定理

係数を並べると パスカルの三角形（1／1 1／1 2 1／1 3 3 1／1 4 6 4 1／…）になります。

証明：どの括弧から b を選ぶかを数える（本質）

$(a+b)^n$ は、$(a+b)$ を $n$ 個かけたものです。

$$(a+b)^n=\underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n\ \text{個}}$$

展開するとは、$n$ 個の括弧のそれぞれから $a$ か $b$ のどちらか1つを選んでかけ、その結果をすべて足すことです。

• $a^{n-r}b^r$ という項ができるのは、$n$ 個の括弧のうち $r$ 個から $b$、残り $n-r$ 個から $a$ を選んだとき。
• $b$ を選ぶ $r$ 個の括弧の選び方は、$n$ 個から $r$ 個を選ぶ組合せで ${}_n\mathrm{C}_r$ 通り。

だから $a^{n-r}b^r$ の係数は ${}_n\mathrm{C}_r$ です。たとえば $(a+b)^3$ の $a^2b$ は、「$b$ を1つ目から選ぶ」「2つ目から」「3つ目から」の3通り（${}_3\mathrm{C}_1=3$）できるので係数が3になります。

パスカルの三角形になる理由

$(a+b)^{n}=(a+b)^{n-1}(a+b)$ と考えると、$a^{n-r}b^r$ は「$(a+b)^{n-1}$ の $a^{n-r}b^{r-1}$ に $b$ をかける」か「$a^{n-1-r}b^r$ に $a$ をかける」の2通りでできます。だから

$${}_n\mathrm{C}_r={}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+{}_{n-1}\mathrm{C}_r$$

これが「上の2つを足すと下の数」というパスカルの三角形の規則です。

二項係数の性質

二項定理に $a=b=1$ を入れると、二項係数の和が分かります。

$${}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n=2^n$$

（$n$ 個のものから「いくつか選ぶ」選び方の総数は、1つずつ「選ぶ・選ばない」の $2^n$ 通り、とも説明できます。）$a=1,\ b=-1$ を入れると ${}_n\mathrm{C}_0-{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_2-\cdots=0$。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

• 係数の中の数も累乗する：$(2x)^3=8x^3$。2を3乗し忘れない。
• 負の数の符号：$(-3)^r$ の符号は $r$ の偶奇で変わる。
• 何番目の項か：${}_n\mathrm{C}_r$ の項は $r+1$ 番目（$r$ は0から始まる）。

練習問題

1. 大学受験 $(x+2)^4$ を展開しなさい。
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   $x^4+4\cdot2x^3+6\cdot4x^2+4\cdot8x+16=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$
2. 大学受験 $(a+b)^7$ の展開式の $a^3b^4$ の係数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   ${}_7\mathrm{C}_4=35$。答え $35$
3. 大学受験 ${}_8\mathrm{C}_0+{}_8\mathrm{C}_1+\cdots+{}_8\mathrm{C}_8$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $2^8=256$。答え $256$

関連する公式

• 順列・組合せの公式（nPr・nCr）（パスカルの三角形）
• 乗法公式と因数分解の公式（$n=2,\ 3$ の場合）
• 微分の公式（$x^n$ の微分の証明に使う）
• 確率の基本と余事象
• 反復試行の確率
• 数列の極限
• 乗法公式（展開の公式）
• 同じものを含む順列
• 二項分布

よくある質問

あわせて読みたい

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