二項分布の公式 B(n,p)｜平均np・分散np(1−p)の証明と例題【数学B・大学受験】

二項分布の公式 B(n,p)｜平均np・分散np(1−p)の証明と例題【数学B・大学受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 場合の数・確率

大学受験

E(X)=np,V(X)=np(1−p)E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p)

P(X=k)=nCk pk(1−p)n−kP(X=k)={}_n\mathrm{C}_k\,p^k(1-p)^{n-k}

この公式のポイント

  • 独立な試行を nn 回くり返して起こる回数の分布
  • 確率は反復試行：P(X=k)=nCkpkqn−kP(X=k)={}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}
  • 平均 npnp、分散 npqnpq、標準偏差 npq\sqrt{npq}（q=1−pq=1-p）
  • 証明のコツ：1回ごとの0か1に分けて足す
うかるくん

うかるくん

P(X=k)P(X=k) の式に、nCk{}_n\mathrm{C}_k がつくのはどうして？

合格先生

合格先生

pkqn−kp^kq^{n-k} は、決まった順番1通りの確率だ。何回目に成功するかの選び方をかけるんだぞ。

二項分布の公式

1回の試行で事柄 A が起こる確率が pp のとき、この試行を独立に nn 回くり返して A が起こる回数を XX とします。XX の確率分布を二項分布といい、B(n, p)B(n,\ p) と表します（B は binomial＝二項 の頭文字）。

二項分布 B(n, p)（q＝1−p）

P(X=k)=nCk pkqn−k(k=0, 1, …, n)P(X=k)={}_n\mathrm{C}_k\,p^k q^{n-k}\quad(k=0,\ 1,\ \dots,\ n)E(X)=np,V(X)=npq=np(1−p),σ(X)=npqE(X)=np,\qquad V(X)=npq=np(1-p),\qquad\sigma(X)=\sqrt{npq}
0.10.20.3012345678910P(X＝k)k（成功の回数）0.2668B(10, 0.3)平均 np＝3分散 np(1−p)＝2.1
B(10, 0.3)B(10,\ 0.3) の確率分布。山は平均 np=3np=3 のあたりにでき、分散は np(1−p)=2.1np(1-p)=2.1

確率 P(X=k)P(X=k) は、反復試行の確率そのものです。すべての kk について足すと、二項定理より ∑k=0nnCkpkqn−k=(p+q)n=1\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}=(p+q)^n=1 となり、確率の合計がきちんと1になります。「二項分布」の名前は、この (p+q)n(p+q)^n の展開から来ています。

証明（平均 np・分散 np(1−p) になる理由）

方法1：1回ごとの結果に分けて足す

ii 回目に A が起これば Xi=1X_i=1、起こらなければ Xi=0X_i=0 とします。成功の回数は X=X1+X2+⋯+XnX=X_1+X_2+\cdots+X_n です。

成功1回目X₁＝1＋失敗2回目X₂＝0＋成功3回目X₃＝1＋成功4回目X₄＝1＋失敗5回目X₅＝0＝3X＝X₁＋X₂＋…＋Xₙ（成功の回数）1回分 Xᵢ：1（確率 p）か 0（確率 1−p）E(Xᵢ)＝p、V(Xᵢ)＝p−p²＝p(1−p)n 個足して E(X)＝np、V(X)＝np(1−p)
成功の回数 XX は、1回ごとの「成功なら1、失敗なら0」の合計。1回分の平均と分散を nn 倍すればよい

1回分について、E(Xi)=1⋅p+0⋅q=pE(X_i)=1\cdot p+0\cdot q=p、E(Xi2)=12⋅p+02⋅q=pE(X_i^2)=1^2\cdot p+0^2\cdot q=p なので

V(Xi)=E(Xi2)−{E(Xi)}2=p−p2=p(1−p)=pqV(X_i)=E(X_i^2)-\{E(X_i)\}^2=p-p^2=p(1-p)=pq

期待値は和に分けられる（E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)）ので、E(X)=p+p+⋯+p=npE(X)=p+p+\cdots+p=np。

さらに X1, …, XnX_1,\ \dots,\ X_n は独立（各回の結果がたがいに影響しない）なので、分散も和に分けられ（V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y)、X, YX,\ Y が独立のとき）、V(X)=pq+pq+⋯+pq=npqV(X)=pq+pq+\cdots+pq=npq。

方法2：式で直接計算する（平均）

k⋅nCk=k⋅n!k!(n−k)!=n⋅(n−1)!(k−1)!(n−k)!=n⋅n−1Ck−1k\cdot{}_n\mathrm{C}_k=k\cdot\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=n\cdot\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=n\cdot{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} を使うと、

E(X)=∑k=1nk nCkpkqn−k=np∑k=1nn−1Ck−1pk−1qn−k=np (p+q)n−1=npE(X)=\sum_{k=1}^{n}k\,{}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}=np\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}p^{k-1}q^{n-k}=np\,(p+q)^{n-1}=np

（最後は二項定理。分散も同じ工夫で E(X(X−1))=n(n−1)p2E(X(X-1))=n(n-1)p^2 を求め、V(X)=E(X(X−1))+E(X)−{E(X)}2=npqV(X)=E(X(X-1))+E(X)-\{E(X)\}^2=npq と示せます。）

大学受験（数学B）での使い方

大学受験

例題1（確率と平均・分散）

1個のさいころを5回投げて、1の目が出る回数を XX とする。P(X=2)P(X=2)、XX の平均と分散を求めなさい。

解き方

XX は B(5, 16)B\left(5,\ \dfrac16\right) にしたがう。

P(X=2)=5C2(16)2(56)3=10⋅136⋅125216=6253888P(X=2)={}_5\mathrm{C}_2\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)^3=10\cdot\dfrac{1}{36}\cdot\dfrac{125}{216}=\dfrac{625}{3888}。

E(X)=5⋅16=56E(X)=5\cdot\dfrac16=\dfrac56、V(X)=5⋅16⋅56=2536V(X)=5\cdot\dfrac16\cdot\dfrac56=\dfrac{25}{36}。

答え　P(X=2)=6253888P(X=2)=\dfrac{625}{3888}、平均 56\dfrac56、分散 2536\dfrac{25}{36}

大学受験

例題2（標準偏差）

1枚の硬貨を100回投げて表が出る回数 XX の平均と標準偏差を求めなさい。

解き方

XX は B(100, 12)B\left(100,\ \dfrac12\right)。E(X)=100⋅12=50E(X)=100\cdot\dfrac12=50、V(X)=100⋅12⋅12=25V(X)=100\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12=25、σ(X)=25=5\sigma(X)=\sqrt{25}=5。

答え　平均 5050、標準偏差 55

大学受験

例題3（n と p を求める）

XX が二項分布 B(n, p)B(n,\ p) にしたがい、平均が 88、分散が 4.84.8 である。n, pn,\ p を求めなさい。

解き方

np=8np=8、np(1−p)=4.8np(1-p)=4.8。2式を割ると 1−p=4.88=0.61-p=\dfrac{4.8}{8}=0.6 より p=0.4p=0.4。n=80.4=20n=\dfrac{8}{0.4}=20。

答え　n=20n=20、p=0.4p=0.4

nn が大きいとき、二項分布は正規分布 N(np, np(1−p))N(np,\ np(1-p)) で近似できます（二項分布の正規近似）。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

分散を npnp としない。正しくは np(1−p)np(1-p)、標準偏差はその平方根だ。

  • nCk{}_n\mathrm{C}_k を忘れる：pkqn−kp^kq^{n-k} は「ある決まった順番」の確率。何回目に成功するかの選び方 nCk{}_n\mathrm{C}_k 通りをかける。
  • 分散を np2np^2 や npnp とする：正しくは np(1−p)np(1-p)。標準偏差はその平方根 np(1−p)\sqrt{np(1-p)}。
  • 独立でない試行に使う：くじをもとにもどさず引くときは、毎回の確率が変わるので二項分布ではない。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

平均は npnp、分散は np(1−p)np(1-p)。ここが大事だぞ。

  1. 大学受験 XX が B(4, 12)B\left(4,\ \dfrac12\right) にしたがうとき、P(X=2)P(X=2) を求めなさい。
    答えと解説を見る4C2(12)4=616=38{}_4\mathrm{C}_2\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac{6}{16}=\dfrac38
  2. 大学受験 1個のさいころを300回投げるとき、3の倍数の目が出る回数 XX の平均と標準偏差を求めなさい。
    答えと解説を見るB(300, 13)B\left(300,\ \dfrac13\right)。平均 100100、分散 300⋅13⋅23=2003300\cdot\dfrac13\cdot\dfrac23=\dfrac{200}{3}、標準偏差 2003=1063\sqrt{\dfrac{200}{3}}=\dfrac{10\sqrt6}{3}
  3. 大学受験 XX が B(10, 0.4)B(10,\ 0.4) にしたがうとき、Y=2X+1Y=2X+1 の平均と分散を求めなさい。
    答えと解説を見るE(X)=4E(X)=4、V(X)=10⋅0.4⋅0.6=2.4V(X)=10\cdot0.4\cdot0.6=2.4。E(Y)=2⋅4+1=9E(Y)=2\cdot4+1=9、V(Y)=22⋅2.4=9.6V(Y)=2^2\cdot2.4=9.6

関連する公式

よくある質問

二項分布とは？

確率 p で起こる事柄について、同じ試行を独立に n 回くり返したときに起こる回数 X の確率分布です。B(n,p) と書きます。

二項分布の平均と分散は？

平均は np、分散は np(1−p)、標準偏差は √(np(1−p)) です。

なぜ平均が np になるのですか？

1回ごとに「成功なら1、失敗なら0」とすると、その平均は p です。成功の回数はそれを n 回分足したものなので、平均は np になります。分散も、各回が独立なので1回分の p(1−p) を n 倍して np(1−p) です。

何年生で習いますか？

高校の数学B「統計的な推測」で学びます。確率の計算（反復試行）は数学Aで学びます。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学A（場合の数と確率）・数学B（統計的な推測）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦