順列・組合せの公式｜nPr・nCrの違いと計算方法・円順列・パスカルの三角形と例題【中学受験〜大学受験】

中学受験高校受験大学受験

{}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!},\qquad {}_{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}

順列＝並べる（順番あり）、組合せ＝選ぶだけ（順番なし）

この公式のポイント

順番を考えるなら順列 P、選ぶだけなら組合せ C
${}_n\mathrm{P}_r$ は $n$ から1ずつ減らして $r$ 個かける。 ${}_n\mathrm{C}_r$ はそれを $r!$ で割る
${}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}$ 。「少なくとも」は全体から引く
小6の並べ方・組み合わせ方、中2の確率、数学Aの場合の数へつながる

うかるくん

この問題、順列と組合せのどっちで数えればいいのか迷うよ。

合格先生

役割や順番があるなら順列 P、選ぶだけなら組合せ C だ。C は P を $r!$ で割ったものだぞ。

順列と組合せの公式

いくつかのものから何個かを取り出すとき、順番を考えて並べるのが順列、順番を考えずに選ぶだけなのが組合せです。

順列 nPr と組合せ nCr

{}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}

{}_{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}

$n!$ （ $n$ の階乗）は $n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$ 。たとえば $4!=24$ 。

	意味	例：5人から2人
順列 ${}_n\mathrm{P}_r$	$n$ 個から $r$ 個を取り出して並べる	委員長と副委員長を選ぶ： $5\times4=20$ 通り
組合せ ${}_n\mathrm{C}_r$	$n$ 個から $r$ 個を選ぶだけ	代表2人を選ぶ： $20\div2=10$ 通り

なぜこの公式になるのか

A・B・C の3人から2人を並べる：1人目3通り × 2人目2通り＝6通り

順列：1番目は $n$ 通り、2番目は残りの $n-1$ 通り、…と、取り出すたびに1つずつ減ります。だから $n\times(n-1)\times\cdots$ を $r$ 個かけます。

組合せ：選んだ $r$ 個の並べ方は $r!$ 通りあり、順列ではそれを全部別々に数えています。組合せでは同じ1通りなので、順列を $r!$ で割ります。

大事な性質： ${}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}$ （ $r$ 個を選ぶことは、残す $n-r$ 個を選ぶことと同じ）。たとえば ${}_{10}\mathrm{C}_8={}_{10}\mathrm{C}_2=45$ 。

パスカルの三角形

上の2つの数を足すと下の数になる。5段目（赤）は

{}_5\mathrm{C}_0,\ {}_5\mathrm{C}_1,\ \dots,\ {}_5\mathrm{C}_5

組合せの数を三角形に並べたものをパスカルの三角形といいます。 ${}_n\mathrm{C}_r={}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+{}_{n-1}\mathrm{C}_r$ という関係があり、二項定理 $(a+b)^n$ の係数にもなっています。

中学受験（算数）での使い方

小学6年で、並べ方と組み合わせ方を樹形図や表で学びます。中学受験では、記号 P・C は使わず、「かけ算」と「同じものの数で割る」考え方で解きます。

中学受験

例題1（並べ方）

1、2、3、4 の4枚のカードから3枚を並べて3けたの整数をつくります。何通りできますか。

解き方

百の位4通り、十の位3通り、一の位2通り。 $4\times3\times2=24$ （通り）。

答え　 $24$ 通り

中学受験

例題2（選び方・リーグ戦）

6チームが、どのチームとも1回ずつ試合をします（リーグ戦）。全部で何試合ですか。

解き方

6チームから2チームを選ぶ組み合わせです。並べると $6\times5=30$ 通りで、「AとB」と「BとA」は同じ試合なので $30\div2=15$ （試合）。

答え　 $15$ 試合

高校受験（中学2年）では

中学2年の確率で、場合の数を樹形図や表で数えます。記号は使いませんが、考え方は順列・組合せと同じです。「全部で何通りか」を正しく数えることが、確率の問題の土台になります。

高校受験

例題3（確率）

A、B、C、D の4人から2人の当番をくじで選びます。A が当番に入る確率を求めなさい。

解き方

2人の選び方は AB、AC、AD、BC、BD、CD の $6$ 通り。A が入るのは $3$ 通り。

確率は $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ 。

答え　 $\dfrac{1}{2}$

大学受験（数学A）での使い方

高校の数学A「場合の数と確率」で、 ${}_n\mathrm{P}_r$ ・ ${}_n\mathrm{C}_r$ ・円順列・同じものを含む順列などを学びます。共通テストや個別試験の確率の問題は、ほとんどがこの数え方の上に立っています。

名前	公式	例
円順列	$(n-1)!$	5人が円く並ぶ： $4!=24$ 通り
同じものを含む順列	$\dfrac{n!}{p!\,q!\,\cdots}$	AABBC の並べ方： $\dfrac{5!}{2!\,2!}=30$ 通り
重複順列	$n^r$	3種類から5回選ぶ： $3^5=243$ 通り

大学受験

例題4（組合せ）

男子4人、女子3人の中から3人を選びます。少なくとも1人女子が入る選び方は何通りですか。

解き方

全部の選び方は ${}_7\mathrm{C}_3=35$ 通り。女子が1人も入らない（男子だけ）のは ${}_4\mathrm{C}_3=4$ 通り。

「少なくとも1人」は全体から引いて、 $35-4=31$ （通り）。

答え　 $31$ 通り

大学受験

例題5（円順列）

大人2人と子ども4人が円いテーブルにすわります。大人2人がとなり合うすわり方は何通りですか。

解き方

大人2人をひとかたまりと考えると、5つのものの円順列で $(5-1)!=24$ 通り。

かたまりの中で大人2人の並び方が $2$ 通りあるので、 $24\times2=48$ （通り）。

答え　 $48$ 通り

よくある間違い

合格先生

円順列で回転を区別してしまう。回して同じになる並びは1通りだ。

順列と組合せの取りちがえ：「役割がある・順番がある」なら順列、「選ぶだけ」なら組合せ。
「少なくとも」を直接数える：全体から「1つもない場合」を引く方が速く、ミスも少ない。
円順列で回転を区別してしまう：回して同じになる並びは1通り。

練習問題

サクラちゃん

「少なくとも」は、全体から引くのが近道ね。

中学受験 5人の中から図書委員を2人選びます。選び方は何通りですか。
答えと解説を見る
$5\times4\div2=10$ 。答え $10$ 通り
大学受験 8人の中から議長と副議長を1人ずつ選ぶ方法は何通りですか。
答えと解説を見る
役割があるので順列。 ${}_8\mathrm{P}_2=8\times7=56$ 。答え $56$ 通り
大学受験 ${}_{10}\mathrm{C}_8$ の値を求めなさい。
答えと解説を見る
${}_{10}\mathrm{C}_8={}_{10}\mathrm{C}_2=\dfrac{10\times9}{2}=45$ 。答え $45$

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よくある質問

順列と組合せの違いは？

順列は取り出したものを順番に並べる場合の数、組合せは順番を考えずに選ぶだけの場合の数です。

nPr の計算方法は？

n から1ずつ減らしながら r 個の数をかけます。たとえば 5P3=5×4×3=60 です。

nCr の計算方法は？

nPr を r!（r の階乗）で割ります。たとえば 5C3=60÷6=10 です。nCr=nCn−r も使えます。

円順列の公式は？

n 個のものを円く並べる並べ方は (n−1)! 通りです。回転して同じになるものを1通りと数えるからです。

順列・組合せは何年生で習いますか？

小学6年で並べ方・組み合わせ方、中学2年で確率と場合の数、高校の数学Aで記号 P・C を使った順列・組合せを学びます。