樹形図の書き方と数え上げの公式｜もれなく重なりなく数える理由・かけ算になる理由・例題【中学受験】

うかるくん

書き出すと、いつも1つ足りなかったり2回数えたりしちゃう。

合格先生

書く前に順番を決めるんだ。1つずつ決めて枝を分ければ、もれなく重なりなく数えられるぞ。

樹形図と数え上げの基本

場合の数（何通りあるか）を数えるときのいちばんの基本は、樹形図（じゅけいず）です。木の枝が分かれるように、1つ目を決め、2つ目を決め…と順番に書き出していきます。枝の先の数が、答えの「何通り」です。

なぜ樹形図でもれなく重なりなく数えられるのか

樹形図では、「百の位を何にするか」で、まず枝を3本に分けます。百の位が1の枝、2の枝、3の枝は、百の位がちがうので同じ整数になることはありません（重なりがない）。また、百の位は1, 2, 3 のどれかなので、どの整数もどこかの枝に必ず入ります（もれがない）。

次に、それぞれの枝を「十の位を何にするか」で分けます。ここでも同じことが言えます。こうして1つずつ決めていくと、枝の先の1本1本が、ちょうど1つの整数に対応します。だから枝の先を数えれば、もれなく重なりなく数えられます。

図1では、百の位の3本の枝が、それぞれ2本ずつに分かれ、さらに1本ずつになっています。どの枝からも同じ数ずつ分かれているので、全部書かなくても $3\times2\times1=6$ とかけ算で求められます。これが順列の考え方のもとです。

分かれ方がそろっていないとき（図3のように、百の位に0が使えないときなど）は、かけ算の式を作る前に、樹形図でどう分かれるかを確かめると安心です。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

3けたの整数の百の位に0を入れてはだめだ。012 は3けたの整数ではないぞ。

• 順番を決めずに書き出す：思いついた順に書くと、もれや重なりが出ます。小さい順・大きいお金から、など順番を決めます。
• 百の位に0を入れてしまう：「012」は3けたの整数ではありません（図3）。
• 選ぶだけなのに順番を区別する：「2人を選ぶ」ならAとBの組とBとAの組は同じです。並べるのか、選ぶだけなのかを確かめます。

練習問題

サクラちゃん

小さい順に、ていねいに枝を分けよう！

1. 中学受験 A, B, C, D の4人から、班長と副班長を1人ずつ選びます。選び方は何通りですか。
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   班長が4通り、副班長は残りの3通り。$4\times3=12$。答え 12通り
2. 中学受験 0, 1, 2, 3 の4枚のカードから3枚を並べて3けたの整数を作ります。何通りできますか。また、そのうち偶数は何通りですか。
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   百の位は0以外の3通り、十の位は残り3通り、一の位は残り2通りで $3\times3\times2=18$。偶数は一の位が0のとき $3\times2=6$、一の位が2のとき百の位が2通り（1か3）・十の位が2通りで4。$6+4=10$。答え 18通り、偶数は10通り
3. 中学受験 A, B, C, D の4人がプレゼントを1つずつ持ちよって交換します。全員が自分以外の人のプレゼントを受け取る方法は何通りですか。
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   A が B のを受け取るとき、樹形図で、A, B, C, D が受け取るプレゼントの持ち主を順に書くと (B,A,D,C)(B,C,D,A)(B,D,A,C) の3通り。A が C, D のを受け取るときも3通りずつ。$3\times3=9$。答え 9通り

関連する公式

• 順列・組合せの公式（かけ算で数える）
• 最短経路の道順
• 色の塗り分け
• 確率の基本と余事象
• 同じものを含む順列
• 集合の要素の個数
• 条件整理・推理

よくある質問

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