確率の基本の公式と余事象｜1−P(A)の証明・「少なくとも」の解き方・和事象・反復試行の例題【高校受験〜大学受験】

Q: 確率の基本の公式は？

A が起こる確率は、A が起こる場合の数をすべての場合の数で割ったものです。ただし、それぞれの場合が同様に確からしいことが条件です。

Q: 余事象とは？

A が起こらないという事象のことで、その確率は 1−P(A) です。「少なくとも1回」の問題で使うと計算が簡単になります。

Q: なぜさいころ2つの和が7の確率は1/11ではないのですか？

和の2〜12の11通りは同じくらい起こりやすくないからです。目の出方36通りで数えると、和7は6通りなので1/6です。

Q: 反復試行の確率の公式は？

1回で起こる確率が p の試行を n 回くり返すとき、ちょうど r 回起こる確率は nCr pʳ(1−p)ⁿ⁻ʳ です。

Q: 確率は何年生で習いますか？

中学2年で確率の基本、高校の数学Aで余事象・反復試行・条件付き確率などを学びます。

合格大作戦算数・数学公式辞典 › 場合の数・確率

高校受験大学受験

P(\overline{A})=1-P(A)

$P(A)=\dfrac{\text{A が起こる場合の数}}{\text{すべての場合の数}}$

この公式のポイント

確率＝A が起こる場合の数 ÷ すべての場合の数（同様に確からしいとき）
区別のつかないものも区別して数える（和7は $\frac{6}{36}$ ）
「少なくとも」は余事象： $1-P(\text{1回も起こらない})$
和事象は重なりを引く： $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

うかるくん

「少なくとも1回」の確率って、どう数えればいいの？

合格先生

余事象を使おう。1から「1回も起こらない確率」を引けば、すぐに出るぞ。

確率の基本の公式

確率の定義（同様に確からしいとき）

P(A)=\frac{\text{A が起こる場合の数}}{\text{起こりうるすべての場合の数}}

$0\le P(A)\le1$ 。必ず起こることの確率は1、決して起こらないことの確率は0。

公式	内容
余事象	$P(\overline{A})=1-P(A)$ （A が起こらない確率）
和事象（排反）	A と B が同時に起こらないとき $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
和事象（一般）	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
独立な試行	$P(A\text{ かつ }B)=P(A)\times P(B)$
反復試行	$n$ 回中 $r$ 回起こる確率 ${}_n\mathrm{C}_rp^r(1-p)^{n-r}$

「同様に確からしい」が大前提

2つのさいころの目の出方は 6×6＝36 通りで、どれも同じくらい起こりやすい

確率の公式が使えるのは、それぞれの場合が同じくらい起こりやすい（同様に確からしい）ときです。2つのさいころの和は2〜12の11通りですが、この11通りは同様に確からしくありません（和7は6通り、和2は1通り）。だから「和が7の確率は $\dfrac{1}{11}$ 」は間違いで、正しくは $\dfrac{6}{36}=\dfrac16$ 。区別のつかないものも区別して数えるのがコツです。

余事象の公式の証明と使い方

全体の場合の数を $N$ 、A が起こる場合の数を $a$ とすると、A が起こらない場合の数は $N-a$ 。よって

P(\overline A)=\frac{N-a}{N}=1-\frac aN=1-P(A)

「少なくとも1回」「〜でない」という問題は、直接数えると場合分けが多くなります。反対の「1回も起こらない」を数えて1から引くと、ずっと簡単です。

和事象の公式の証明

A と B の場合の数を足すと、両方に入っている部分（ $A\cap B$ ）を2回数えてしまいます。だから1回分を引きます： $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ 。全体の数で割ると確率の公式になります。

高校受験（中学2年）での使い方

確率は中学2年で学びます。高校入試では、さいころ2つ、カード、くじ引き、玉の取り出しが定番で、表や樹形図で全部を書き出すのが確実です。

高校受験

例題1（さいころ2つ）

2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の和が 7 になる確率を求めなさい。

解き方

全部で $36$ 通り。和が7は $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ の $6$ 通り。

$\dfrac{6}{36}=\dfrac16$ 。

答え　 $\dfrac16$

高校受験

例題2（余事象）

2つのさいころを投げるとき、少なくとも一方が 6 の目になる確率を求めなさい。

解き方

どちらも6でないのは $5\times5=25$ 通り。

$1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$ 。

答え　 $\dfrac{11}{36}$

例題2：少なくとも一方が6（橙）を直接数えるより、どちらも6でない

5\times5=25

通り（青）を数えて

36

から引くほうが速い

大学受験（数学A）での使い方

大学受験

例題3（反復試行）

1個のさいころを4回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求めなさい。

解き方

${}_4\mathrm{C}_2\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)^2=6\cdot\dfrac{1}{36}\cdot\dfrac{25}{36}=\dfrac{25}{216}$ 。

答え　 $\dfrac{25}{216}$

大学受験

例題4（余事象）

1個のさいころを

n

回投げるとき、少なくとも1回1の目が出る確率が

\dfrac12

をこえる最小の

n

を求めなさい。

解き方

1回も1が出ない確率は $\left(\dfrac56\right)^n$ 。 $1-\left(\dfrac56\right)^n>\dfrac12$ 、つまり $\left(\dfrac56\right)^n<\dfrac12$ 。

$n=3$ ： $\dfrac{125}{216}\fallingdotseq0.579$ 、 $n=4$ ： $\dfrac{625}{1296}\fallingdotseq0.482$ 。

答え　 $n=4$

よくある間違い

合格先生

区別のつかないさいころを、そのまま数えるのは×だ。区別して数えないと、同様に確からしくならないぞ。

同様に確からしくない場合を数える：区別のつかないさいころ・玉も、区別して数える。
「少なくとも」を直接足して重複させる：余事象を使う。
独立でないのにかける：取り出した玉をもどさないときは、2回目の確率が変わる（条件付き確率）。

練習問題

うかるくん

区別して数えれば、和7は $\frac{6}{36}$ だね！

高校受験赤玉3個、白玉2個の袋から同時に2個取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めなさい。
答えと解説を見る
全部 ${}_5\mathrm{C}_2=10$ 通り、赤2個は ${}_3\mathrm{C}_2=3$ 通り。答え $\dfrac{3}{10}$
高校受験硬貨を3枚投げるとき、少なくとも1枚表が出る確率を求めなさい。
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全部裏は $\dfrac18$ 。 $1-\dfrac18=\dfrac78$ 。答え $\dfrac78$
大学受験 1から100までの整数から1つ選ぶとき、2の倍数または3の倍数である確率を求めなさい。
答えと解説を見る
2の倍数50、3の倍数33、6の倍数16。 $50+33-16=67$ 。答え $\dfrac{67}{100}$

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よくある質問

確率の基本の公式は？

A が起こる確率は、A が起こる場合の数をすべての場合の数で割ったものです。ただし、それぞれの場合が同様に確からしいことが条件です。

余事象とは？