反復試行の確率の公式｜nCr p^r q^(n−r) の証明（並び方×確率）・先に3勝の問題・サイコロの例題【数学A・大学受験】

うかるくん

$p^rq^{n-r}$ だけじゃだめ？なぜ ${}_n\mathrm{C}_r$ をかけるの？

合格先生

$p^rq^{n-r}$ は1つの並び方の確率だ。並び方が ${}_n\mathrm{C}_r$ 通りあるから、かけるんだぞ。

反復試行の確率の公式

サイコロを何回も投げる、コインを何回も投げるなど、同じ条件で、結果がたがいに影響しない（独立な）試行をくり返すことを反復試行といいます。

証明：「並び方の数」×「1つの並び方の確率」

$q=1-p$ とします。たとえば「○○×」（1回目と2回目が成功、3回目が失敗）の確率は、試行が独立なので $p\times p\times q=p^2q$。「○×○」「×○○」も、かける順番がちがうだけで同じ $p^2q$ です。

一般に、$n$ 回中 $r$ 回成功する並び方は、成功する回を $n$ 回から $r$ 回選ぶので ${}_n\mathrm{C}_r$ 通り（組合せ）。それぞれの確率は $p^rq^{n-r}$ で、これらは同時には起こらない（排反）ので足し合わせて ${}_n\mathrm{C}_r\,p^rq^{n-r}$。

$r=0$ から $n$ まで全部足すと、二項定理により $(p+q)^n=1^n=1$。確率の合計がきちんと1になります。

大学受験（数学A）での使い方

よくある間違い

合格先生

「先に○勝」で、最後の試合まで ${}_n\mathrm{C}_r$ に入れるのは×。最後は勝ちに決まっている。

• ${}_n\mathrm{C}_r$ をかけ忘れる：$p^rq^{n-r}$ は「1つの並び方」の確率。
• 優勝の問題で最後の試合も ${}_n\mathrm{C}_r$ に入れる：最後の1試合は勝ちに決まっている。
• 独立でない試行に使う：引いたくじを戻さない場合などは使えない。

練習問題

サクラちゃん

並び方の数×1つの並び方の確率、で解こう。

1. 大学受験 コインを6回投げるとき、表がちょうど3回出る確率を求めなさい。
   答えと解説を見る

   ${}_6\mathrm{C}_3\left(\dfrac12\right)^6=\dfrac{20}{64}=\dfrac{5}{16}$
2. 大学受験 サイコロを3回投げるとき、6の目が少なくとも1回出る確率を求めなさい。
   答えと解説を見る

   余事象「1回も出ない」は $\left(\dfrac56\right)^3=\dfrac{125}{216}$。答え $\dfrac{91}{216}$
3. 大学受験 成功確率 $\dfrac13$ の試行を4回くり返すとき、ちょうど1回成功する確率を求めなさい。
   答えと解説を見る

   ${}_4\mathrm{C}_1\cdot\dfrac13\cdot\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{32}{81}$

関連する公式

• 確率の基本・余事象
• 順列・組合せの公式（${}_n\mathrm{C}_r$）
• 二項定理（確率の合計が1になる理由）
• 期待値（成功回数の期待値は $np$）
• 条件付き確率
• データの分析
• 円順列・重複順列
• 二項分布

この公式が出てくる合格大作戦の記事

• 2014年京大入試文系数学の講評
  サイコロの確率・期待値の問題が出題された年の講評
• 京大理系数学　出題分析
  京大数学で確率がどれだけ出ているかの分析

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）