条件付き確率と乗法定理｜P_A(B)=P(A∩B)/P(A) の意味と証明・独立・ベイズの定理（原因の確率）の例題【大学受験 数学A】

条件付き確率と乗法定理｜P_A(B)=P(A∩B)/P(A) の意味と証明・独立・ベイズの定理（原因の確率）の例題【大学受験 数学A】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 場合の数・確率

大学受験

PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

乗法定理 P(A∩B)=P(A) PA(B)P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)

この公式のポイント

  • 条件付き確率は分かった情報（A）で全体をしぼって考える確率
  • PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}、かけ算の形が乗法定理
  • PA(B)=P(B)P_A(B)=P(B) なら独立
  • 原因の確率（ベイズ）は、結果が起こるすべての場合を分母にする
うかるくん

うかるくん

PA(B)P_A(B) と PB(A)P_B(A) の区別が、いつもつかなくなるよ。

合格先生

合格先生

分かった情報が下につく。A が起こったと分かり、A で全体をしぼって考えるのが PA(B)P_A(B) だ。

条件付き確率と乗法定理

「A が起こったときに B が起こる確率」を条件付き確率といい、PA(B)P_A(B)（または P(B∣A)P(B\mid A)）と書きます。

条件付き確率・乗法定理

PA(B)=P(A∩B)P(A)⟺P(A∩B)=P(A) PA(B)P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\qquad\Longleftrightarrow\qquad P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)

右の形を乗法定理といいます。「A が起こり、さらに B が起こる確率」は、順にかければよい。

ABA∩B全体 U
A が起こったと分かったら、A（青）を新しい全体と考え、その中で B も起こる部分（赤）の割合を求める

なぜ割り算になるのか（証明）

すべての場合の数を n(U)n(U) とします。A が起こったと分かった時点で、考えるべき場合は A の中の n(A)n(A) 通りだけに減ります（全体が A に入れかわる）。その中で B も起こるのは n(A∩B)n(A\cap B) 通りなので、

PA(B)=n(A∩B)n(A)=n(A∩B)/n(U)n(A)/n(U)=P(A∩B)P(A)P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{n(A\cap B)/n(U)}{n(A)/n(U)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

「分かった情報で全体をしぼる」のが条件付き確率の本質です。

独立とは

PA(B)=P(B)P_A(B)=P(B) のとき、A が起こっても B の確率は変わらないので、A と B は独立です。このとき乗法定理は P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B) になります。くじをもどさずに引くときは独立ではないので、条件付き確率を使います。

原因の確率（ベイズの定理）

結果 B が起こったとき、その原因が A だった確率は、

PB(A)=P(A∩B)P(B)=P(A)PA(B)P(A)PA(B)+P(A‾)PA‾(B)P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)P_A(B)}{P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)}

分母は「A が原因で B」と「A でない原因で B」の確率の和です。病気の検査や、モンティ・ホール問題もこの考え方で説明できます。

大学受験（数学A）での使い方

大学受験

例題1（くじ引き）

当たり3本を含む10本のくじから、A、B の順に1本ずつ引きます（もどさない）。A、B がともに当たる確率と、B が当たる確率を求めなさい。

解き方

乗法定理より、ともに当たる確率は 310×29=115\dfrac{3}{10}\times\dfrac29=\dfrac{1}{15}。

B が当たるのは「A 当たり・B 当たり」か「A はずれ・B 当たり」：310⋅29+710⋅39=6+2190=310\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac29+\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac39=\dfrac{6+21}{90}=\dfrac{3}{10}。

答え　115\dfrac{1}{15}、310\dfrac{3}{10}（引く順番によらず同じ）

大学受験

例題2（原因の確率）

ある病気にかかっている人は全体の 1%1\%。検査は、病気の人を 90%90\% の確率で陽性、病気でない人を 5%5\% の確率で（まちがって）陽性と判定します。陽性と出た人が本当に病気である確率を求めなさい。

解き方

病気かつ陽性：0.01×0.9=0.0090.01\times0.9=0.009。病気でなく陽性：0.99×0.05=0.04950.99\times0.05=0.0495。

0.0090.009+0.0495=0.0090.0585=213≒15%\dfrac{0.009}{0.009+0.0495}=\dfrac{0.009}{0.0585}=\dfrac{2}{13}\fallingdotseq15\%。

答え　213\dfrac{2}{13}（約15％）

0.010.99病気病気でない0.90.10.050.95陽性陰性陽性陰性0.01×0.9＝0.0090.0010.99×0.05＝0.04950.9405陽性のうち病気：0.009÷(0.009＋0.0495)＝2/13
例題2の樹形図。陽性になる道すじは赤の2本。そのうち「病気」を通る道の割合が、陽性の人が本当に病気である確率

陽性でも本当に病気なのは約15％——直感より低く感じるのは、もともと病気の人が少ないためです。条件付き確率は、こうした「直感とのずれ」を正しく計算する道具です。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

もどさないくじを独立として計算しない。2本目の確率は1本目の結果で変わるぞ。

  • PA(B)P_A(B) と PB(A)P_B(A) を取りちがえる：「何が分かったか」（条件）が下につく。
  • もどさないくじを独立として計算する：2本目の確率は1本目の結果で変わる。
  • 原因の確率で分母を1つの場合だけにする：B が起こるすべての原因を足す。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

原因の確率は、すべての場合を分母にするのね。

  1. 大学受験 赤玉4個、白玉2個の袋から、もどさずに2個続けて取り出します。2個とも赤玉である確率を求めなさい。
    答えと解説を見る46×35=25\dfrac46\times\dfrac35=\dfrac25。答え 25\dfrac25
  2. 大学受験 1から10までのカードから1枚引いたら偶数でした。そのカードが3の倍数である確率を求めなさい。
    答えと解説を見る偶数は5枚、その中で3の倍数は6の1枚。答え 15\dfrac15
  3. 大学受験 2つのさいころを投げたら目の和が8でした。少なくとも一方が6である確率を求めなさい。
    答えと解説を見る和8は (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) の5通り、6を含むのは2通り。答え 25\dfrac25

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よくある質問

条件付き確率とは？

A が起こったときに B が起こる確率で、P_A(B)=P(A∩B)/P(A) で求めます。

なぜ P(A) で割るのですか？

A が起こったと分かった時点で、考える全体が A に限られるからです。その中で B も起こる割合を求めるので、A∩B を A で割ります。

乗法定理とは？

P(A∩B)=P(A)P_A(B) のことで、A が起こりさらに B が起こる確率は、順にかければよいという定理です。

ベイズの定理とは？

結果 B が起こったときに原因が A である確率 P_B(A) を、P(A)P_A(B) を B が起こるすべての場合の確率の和で割って求める式です。

条件付き確率は何年生で習いますか？

平成30年告示の学習指導要領では、高校の数学A「場合の数と確率」で習います。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学A（場合の数と確率）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦