分散・標準偏差の求め方と公式｜分散＝2乗の平均−平均の2乗の証明・四分位範囲・偏差値と例題【中学〜数学Ⅰ・受験】

分散・標準偏差の求め方と公式｜分散＝2乗の平均−平均の2乗の証明・四分位範囲・偏差値と例題【中学〜数学Ⅰ・受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 場合の数・確率

高校受験大学受験

s2=x2‾−(xˉ)2,s=s2s^2=\overline{x^2}-\left(\bar{x}\right)^2,\quad s=\sqrt{s^2}

分散＝（2乗の平均）−（平均の2乗）

この公式のポイント

  • 分散は偏差の2乗の平均（偏差の和はいつも0だから2乗する）
  • 計算は 2乗の平均 − 平均の2乗 が楽
  • 標準偏差は分散のルート（元の単位にもどる）
  • y=ax+by=ax+b なら平均 axˉ+ba\bar{x}+b、標準偏差 ∣a∣s|a|s
うかるくん

うかるくん

平均からのずれをそのまま平均したら、ちらばりにならないの？

合格先生

合格先生

ならない。偏差の和はいつも0だ。だから2乗して平均する。それが分散だぞ。

平均・分散・標準偏差の公式

データの「真ん中」を表すのが平均値、「ちらばり」を表すのが分散と標準偏差です。データを x1, x2, ⋯ , xnx_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n（nn 個）とします。

データの分析の基本公式

xˉ=x1+x2+⋯+xnn\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}s2=(x1−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2n=x2‾−(xˉ)2s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2}{n}=\overline{x^2}-\left(\bar{x}\right)^2s=s2s=\sqrt{s^2}

xˉ\bar{x}：平均値　s2s^2：分散　ss：標準偏差　x2‾\overline{x^2}：2乗の平均

2345678910-3-10+1+3平均 6
データ 3, 5, 6, 7, 9。平均 6 からのずれ（偏差）は −3, −1, 0, +1, +3-3,\ -1,\ 0,\ +1,\ +3

偏差は足すと必ず0になる（平均の性質）ので、そのままではちらばりを表せません。そこで2乗して平均したのが分散です。図の例では 9+1+0+1+95=4\dfrac{9+1+0+1+9}{5}=4。分散は単位も2乗になる（点²）ので、ルートをとって元の単位にもどしたのが標準偏差 s=2s=2（点）です。

証明：分散＝（2乗の平均）−（平均の2乗）

xˉ=m\bar{x}=m とおいて、分散の定義を展開します。

s2=1n∑k=1n(xk−m)2=1n∑k=1n(xk2−2mxk+m2)=1n∑xk2−2m⋅1n∑xk+m2=x2‾−2m⋅m+m2=x2‾−m2\begin{aligned}s^2&=\frac1n\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(x_k^2-2mx_k+m^2\right)\\&=\frac1n\sum x_k^2-2m\cdot\frac1n\sum x_k+m^2=\overline{x^2}-2m\cdot m+m^2=\overline{x^2}-m^2\end{aligned}

図の例で確かめると、2乗の平均 9+25+36+49+815=40\dfrac{9+25+36+49+81}{5}=40、平均の2乗 3636、差は 44。定義どおりに計算した値と一致します。平均が整数でないときは、こちらの式のほうが計算が楽です。

データを変換したとき

y=ax+by=ax+b と変換すると、平均は axˉ+ba\bar{x}+b、分散は a2s2a^2s^2、標準偏差は ∣a∣s|a|s。bb を足すのは全体をずらすだけでちらばりは変わらず、aa 倍すると偏差も aa 倍になるからです。

高校受験（中学数学）での使い方

中学では、平均値・中央値・最頻値（中1）、四分位範囲と箱ひげ図（中2）を学びます。

高校受験

例題1（中央値と四分位数）

データ 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12 の中央値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲を求めなさい。

解き方

8個なので中央値は4番目と5番目の平均 6+72=6.5\dfrac{6+7}{2}=6.5。

前半 1, 3, 4, 6 の中央値 3.53.5 が第1四分位数、後半 7, 8, 10, 12 の中央値 99 が第3四分位数。四分位範囲は 9−3.5=5.59-3.5=5.5。

答え　中央値 6.56.5、Q1=3.5Q_1=3.5、Q3=9Q_3=9、四分位範囲 5.55.5

最小値1Q₁3.5中央値6.5Q₃9最大値12012345678910111213四分位範囲 9−3.5＝5.5
例題1のデータの箱ひげ図。箱の左右が Q1=3.5Q_1=3.5 と Q3=9Q_3=9、箱の中の線が中央値 6.56.5、ひげの両はしが最小値と最大値

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

大学受験

例題2（変換）

あるテストの得点 xx の平均値は 60 点、標準偏差は 10 点でした。y=2x+5y=2x+5 と変換した yy の平均値、分散、標準偏差を求めなさい。

解き方

平均値 2×60+5=1252\times60+5=125、標準偏差 2×10=202\times10=20、分散 202=40020^2=400。

答え　平均 125125、分散 400400、標準偏差 2020

大学受験

例題3（偏差値）

平均点 60 点、標準偏差 10 点のテストで 75 点をとりました。偏差値はいくつですか。偏差値は 50+10×x−xˉs50+10\times\dfrac{x-\bar{x}}{s} で求めます。

解き方

50+10×75−6010=6550+10\times\dfrac{75-60}{10}=65。偏差値は「平均から標準偏差何個分はなれているか」を、平均50・標準偏差10の物差しにかえた値です。

答え　6565

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

y=ax+by=ax+b と変換すると、分散は aa 倍ではなく a2a^2 倍だ。標準偏差が ∣a∣|a| 倍になる。

  • 偏差を2乗せずに平均する：偏差の和はいつも0。
  • 分散と標準偏差を取りちがえる：標準偏差は分散のルート。
  • 変換で分散を aa 倍にする：分散は a2a^2 倍、標準偏差が ∣a∣|a| 倍。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

標準偏差は分散のルートだ。単位を元にもどすためだぞ。

  1. 高校受験 データ 4, 8, 6, 2 の平均値を求めなさい。
    答えと解説を見る20div4=520div4=5。答え 55
  2. 大学受験 データ 4, 8, 6, 2 の分散を求めなさい。
    答えと解説を見る偏差 −1,3,1,−3-1, 3, 1, -3。dfrac1+9+1+94=5dfrac{1+9+1+9}{4}=5。答え 55
  3. 大学受験 あるデータの平均値は 3、2乗の平均は 13 です。標準偏差を求めなさい。
    答えと解説を見る分散 13−32=413-3^2=4。答え 22

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よくある質問

分散の求め方は？

各データと平均の差（偏差）を2乗し、その平均をとります。2乗の平均から平均の2乗を引いても求められます。

標準偏差とは？

分散の正の平方根で、データのちらばりを元の単位で表した値です。

分散が「2乗の平均−平均の2乗」になるのはなぜ？

(x−m)² を展開して平均をとると、2乗の平均 −2m·m + m² = 2乗の平均 − m² になるからです。

偏差値の求め方は？

偏差値＝50＋10×（得点−平均点）÷標準偏差 です。

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出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学（データの活用）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅰ（データの分析）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦