標本調査の公式｜全数調査との違い・無作為抽出・母集団を比で推定する理由と例題（池の魚・玉の数）【中学3年・高校受験】

うかるくん

一部しか調べないのに、どうして全体の数が分かるの？

合格先生

無作為に選べば、標本の割合は母集団の割合にほぼ等しい。その比で推定するんだ。

標本調査と母集団の推定

調べたい集団全部を調べるのが全数調査、集団の一部を取り出して調べ、全体のようすを推定するのが標本調査です。調べたい集団全体を母集団、取り出した一部を標本、標本に入っているものの個数を標本の大きさといいます。

なぜ「比」で全体を推定できるのか

理由は無作為抽出にあります。無作為抽出とは、母集団のどの1個も同じ確からしさで選ばれるように取り出すことです（乱数さい・乱数表・コンピュータの乱数などを使います）。

母集団 $N$ 個の中に、調べたいもの（たとえば赤い玉）が $X$ 個あるとします。無作為に1個取り出すとき、それが赤である確率は $\dfrac{X}{N}$ です。これを $n$ 個取り出すと、赤はおよそ

ふくまれると考えられます。実際に標本の中に赤が $a$ 個あったなら $a\fallingdotseq n\times\dfrac{X}{N}$。これを $X$ について解くと

つまり「標本での割合」と「母集団での割合」がほぼ等しいことが、推定の根拠です。さいころを何回もふると1の目の割合が $\dfrac16$ に近づくのと同じで、標本の大きさが大きいほど、標本の割合は母集団の割合に近くなりやすくなります。逆に、選び方にかたよりがある（無作為でない）と、この「ほぼ等しい」がくずれてしまいます。

池の魚の数を調べる方法（印をつけて放し、もう一度とる）も同じ考え方です。印のついた魚が池全体にまんべんなく混ざったあとでとれば、とった魚の中の印の割合 ≒ 池全体の中の印の割合 になります。

高校受験（中学3年）での使い方

よくある間違い

合格先生

混ぜた玉の引き忘れに注意だ。例題2では、あとから混ぜた黒玉300個を引くんだぞ。

• 入れた分を引き忘れる：例題2で「全体2000個」を白玉の数として答えてしまう。あとから混ぜた黒玉300個を引く。
• かたよった選び方：「部活の希望を、サッカー部員だけに聞く」「駅前で朝だけ聞く」などは無作為ではないので、全体の推定に使えない。
• 推定値を正確な値のように書く：標本調査の答えは「およそ ○ 個」。標本が小さいと誤差も大きくなる。

練習問題

サクラちゃん

答えは「およそ○個」と書くのを忘れずに。

1. 高校受験 ある中学校の生徒 600 人から無作為に 50 人を選んで調べると、30 人が毎朝朝食をとっていました。この中学校で毎朝朝食をとっている生徒はおよそ何人と考えられますか。
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   $600\times\dfrac{30}{50}=360$。およそ 360 人
2. 高校受験 袋に入った米つぶに、赤くそめた米つぶ 200 つぶを混ぜてよくかき混ぜ、無作為に 100 つぶ取り出すと、赤い米つぶは 8 つぶでした。袋にもともと入っていた米つぶはおよそ何つぶですか。
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   全体を $x$ つぶとして $8:100=200:x$、$x=2500$。もともとの米つぶは $2500-200=2300$。およそ 2300 つぶ
3. 高校受験 ある工場で作った製品 10000 個から無作為に 400 個を取り出して調べると、不良品が 6 個ありました。10000 個の中の不良品はおよそ何個と考えられますか。
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   $10000\times\dfrac{6}{400}=150$。およそ 150 個

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よくある質問

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