正規分布と標準化 Z=(X−m)/σ｜正規分布表の使い方・証明・二項分布の正規近似と例題【数学B・大学受験】

正規分布と標準化 Z=(X−m)/σ｜正規分布表の使い方・証明・二項分布の正規近似と例題【数学B・大学受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 場合の数・確率

大学受験

Z=X−mσZ=\frac{X-m}{\sigma}

XX が N(m, σ2)N(m,\ \sigma^2) なら ZZ は N(0, 1)N(0,\ 1)。正規近似：B(n, p)≈N(np, np(1−p))B(n,\ p)\approx N(np,\ np(1-p))

この公式のポイント

  • 標準化 Z=X−mσZ=\dfrac{X-m}{\sigma} で平均0・標準偏差1にそろえる
  • 正規分布表は p(u)=P(0≤Z≤u)p(u)=P(0\le Z\le u)。右半分は0.5、左右対称
  • ±1\pm1 に約68.3%、±2\pm2 に約95.4%、±3\pm3 に約99.7%
  • nn が大きい二項分布は N(np, np(1−p))N(np,\ np(1-p)) で近似
うかるくん

うかるくん

標準化するとき、分散 σ2\sigma^2 と標準偏差 σ\sigma のどっちで割るの？

合格先生

合格先生

標準偏差 σ\sigma で割るんだ。N(60, 225)N(60,\ 225) なら σ=15\sigma=15 だぞ。

正規分布と標準化の公式

身長やテストの点数のように、平均のまわりに多く集まり、左右対称な山形になる分布の代表が正規分布です（ガウス分布ともいいます）。平均 mm・標準偏差 σ\sigma の正規分布を N(m, σ2)N(m,\ \sigma^2) と書きます。

正規分布と標準化

XX が正規分布 N(m, σ2)N(m,\ \sigma^2) にしたがうとき、確率密度関数は

f(x)=12π σ e−(x−m)22σ2f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}

標準化：Z=X−mσZ=\dfrac{X-m}{\sigma} とおくと、ZZ は標準正規分布 N(0, 1)N(0,\ 1) にしたがう。

P(a≤X≤b)=P(a−mσ≤Z≤b−mσ)P(a\le X\le b)=P\left(\frac{a-m}{\sigma}\le Z\le\frac{b-m}{\sigma}\right)

二項分布の正規近似：nn が大きいとき、B(n, p)B(n,\ p) は N(np, np(1−p))N(np,\ np(1-p)) で近似できる。

−3−2−1012368.3%95.4%99.7%N(0, 1)z
標準正規分布 N(0, 1)N(0,\ 1)。平均から ±1\pm1 の範囲に約 68.3%68.3\%、±2\pm2 に約 95.4%95.4\%、±3\pm3 に約 99.7%99.7\% が入る

確率は曲線の下の面積で表されます。曲線と横軸の間の面積の合計は 11 です。正規分布はどんな m, σm,\ \sigma でも、標準化すれば同じ N(0, 1)N(0,\ 1) になるので、1つの表（正規分布表）だけで確率が求められます。

正規分布表の使い方

正規分布表には、p(u)=P(0≤Z≤u)p(u)=P(0\le Z\le u)（0から uu までの面積）がのっています。よく使う値は次のとおりです。

uu0.50.51.01.01.51.51.961.962.02.02.52.53.03.0
p(u)p(u)0.19150.19150.34130.34130.43320.43320.47500.47500.47720.47720.49380.49380.49870.4987
0u＝1.5p(1.5)＝0.4332右半分全体＝0.5正規分布表：p(u)＝P(0≦Z≦u)P(Z≧1.5)＝0.5−0.4332＝0.0668
正規分布表の p(u)p(u) は、00 から uu までの面積。曲線は左右対称で、右半分の面積は 0.50.5
  • P(Z≥u)=0.5−p(u)P(Z\ge u)=0.5-p(u)（右のはし）
  • P(Z≤−u)=P(Z≥u)=0.5−p(u)P(Z\le -u)=P(Z\ge u)=0.5-p(u)（左右対称）
  • P(−u≤Z≤u)=2p(u)P(-u\le Z\le u)=2p(u)（例：P(−1.96≤Z≤1.96)=0.95P(-1.96\le Z\le1.96)=0.95）
  • P(Z≤u)=0.5+p(u)P(Z\le u)=0.5+p(u)（u>0u>0 のとき）

証明（なぜ標準化で N(0, 1) になるのか）

平均0・標準偏差1になること

確率変数の1次式について E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b、V(aX+b)=a2V(X)V(aX+b)=a^2V(X) が成り立ちます（期待値の性質）。Z=1σX−mσZ=\dfrac1\sigma X-\dfrac m\sigma なので、

E(Z)=E(X)−mσ=m−mσ=0,V(Z)=V(X)σ2=σ2σ2=1E(Z)=\frac{E(X)-m}{\sigma}=\frac{m-m}{\sigma}=0,\qquad V(Z)=\frac{V(X)}{\sigma^2}=\frac{\sigma^2}{\sigma^2}=1

確率が Z の範囲で求まること（置換積分）

σ>0\sigma>0 なので、a≤X≤ba\le X\le b と a−mσ≤Z≤b−mσ\dfrac{a-m}{\sigma}\le Z\le\dfrac{b-m}{\sigma} は同じ条件です。さらに、正規分布の確率を置換積分で z=x−mσz=\dfrac{x-m}{\sigma}（dx=σ dzdx=\sigma\,dz）とおきかえると、

∫ab12π σe−(x−m)22σ2 dx=∫a−mσb−mσ12π σe−z22 σ dz=∫a−mσb−mσ12πe−z22 dz\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\,dx=\int_{\frac{a-m}{\sigma}}^{\frac{b-m}{\sigma}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{z^2}{2}}\,\sigma\,dz=\int_{\frac{a-m}{\sigma}}^{\frac{b-m}{\sigma}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\,dz

右辺は N(0, 1)N(0,\ 1) の確率密度関数 12πe−z22\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} の積分です。つまり ZZ は確かに標準正規分布にしたがいます。

15−330−245−16007519021053XZ0.0228X〜N(60, 15²) → Z＝(X−60)/15〜N(0, 1)X≧90 ⇔ Z≧2平均を0に、標準偏差を1にそろえる
標準化：平均 6060・標準偏差 1515 の XX の目もり（青）を、Z=X−6015Z=\dfrac{X-60}{15} の目もり（赤）に読みかえる。X≥90X\ge90 は Z≥2Z\ge2 と同じ

二項分布の正規近似

B(n, p)B(n,\ p) の平均は npnp、分散は np(1−p)np(1-p) です（二項分布）。nn を大きくすると、二項分布の棒グラフの形は、同じ平均・分散の正規分布の曲線に近づくことが知られています（ド・モアブル＝ラプラスの定理）。高校では、この事実を使って確率を近似します。

35404550556065棒：B(100, 1/2)曲線：N(50, 5²)平均 np＝50標準偏差 √(np(1−p))＝5表が出る回数
二項分布 B(100, 12)B\left(100,\ \dfrac12\right)（棒）と正規分布 N(50, 52)N(50,\ 5^2)（曲線）。nn が大きいとほぼ重なる

大学受験（数学B）での使い方

大学受験

例題1（標準化して表を引く）

ある試験の得点 XX は、平均 6060 点・標準偏差 1515 点の正規分布にしたがうとする。9090 点以上の人の割合を求めなさい。

解き方

Z=X−6015Z=\dfrac{X-60}{15} とおくと、X≥90X\ge90 は Z≥90−6015=2Z\ge\dfrac{90-60}{15}=2。

P(Z≥2)=0.5−p(2)=0.5−0.4772=0.0228P(Z\ge2)=0.5-p(2)=0.5-0.4772=0.0228。

答え　約 2.28%2.28\%

大学受験

例題2（範囲の確率）

例題1で、4545 点以上 7575 点以下の人の割合を求めなさい。

解き方

45≤X≤7545\le X\le75 は −1≤Z≤1-1\le Z\le1。P(−1≤Z≤1)=2p(1)=2×0.3413=0.6826P(-1\le Z\le1)=2p(1)=2\times0.3413=0.6826。

答え　約 68.26%68.26\%

大学受験

例題3（二項分布の正規近似）

1枚の硬貨を 400400 回投げるとき、表が 220220 回以上出る確率を、正規分布で近似して求めなさい。

解き方

表の回数 XX は B(400, 12)B\left(400,\ \dfrac12\right)。平均 400⋅12=200400\cdot\dfrac12=200、標準偏差 400⋅12⋅12=10\sqrt{400\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12}=10。

XX は近似的に N(200, 102)N(200,\ 10^2) にしたがうので、Z=X−20010Z=\dfrac{X-200}{10} とすると X≥220X\ge220 は Z≥2Z\ge2。

P(Z≥2)=0.5−0.4772=0.0228P(Z\ge2)=0.5-0.4772=0.0228。

答え　約 0.02280.0228

例題3を二項分布のまま正確に計算すると約 0.02550.0255 です。近似には少し誤差があります（大学では、はしを 0.50.5 ずらす「半整数補正」で誤差を小さくする方法も学びます）。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

表の p(u)p(u) をそのまま答えない。「uu 以上」なら 0.5−p(u)0.5-p(u) だ。

  • 分散 σ2\sigma^2 で割ってしまう：標準化は標準偏差 σ\sigma で割る。N(60, 225)N(60,\ 225) なら σ=15\sigma=15。
  • 表の値をそのまま答える：p(u)p(u) は 00 から uu までの面積。「uu 以上」なら 0.5−p(u)0.5-p(u)、「−u-u から uu」なら 2p(u)2p(u)。
  • 正規近似で分散と標準偏差を取りちがえる：B(n, p)B(n,\ p) を N(np, np(1−p))N(np,\ np(1-p)) で近似し、標準化では np(1−p)\sqrt{np(1-p)} で割る。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

標準化すれば、表は1つだけで足りるんだね。

  1. 大学受験 XX が N(50, 102)N(50,\ 10^2) にしたがうとき、P(X≤65)P(X\le65) を求めなさい。
    答えと解説を見るZ=X−5010Z=\dfrac{X-50}{10} で X≤65X\le65 は Z≤1.5Z\le1.5。P=0.5+p(1.5)=0.5+0.4332=0.9332P=0.5+p(1.5)=0.5+0.4332=0.9332
  2. 大学受験 1000人の身長が平均 170170 cm・標準偏差 66 cm の正規分布にしたがうとする。182182 cm 以上の人はおよそ何人か。
    答えと解説を見るZ=182−1706=2Z=\dfrac{182-170}{6}=2。P(Z≥2)=0.0228P(Z\ge2)=0.0228 なので 1000×0.0228=22.81000\times0.0228=22.8、およそ 2323 人
  3. 大学受験 1個のさいころを 720720 回投げるとき、1の目が 100100 回以下になる確率を正規分布で近似して求めなさい。
    答えと解説を見るB(720, 16)B\left(720,\ \dfrac16\right)：平均 120120、分散 720⋅16⋅56=100720\cdot\dfrac16\cdot\dfrac56=100、標準偏差 1010。X≤100X\le100 は Z≤−2Z\le-2。P(Z≤−2)=0.5−0.4772=0.0228P(Z\le-2)=0.5-0.4772=0.0228

関連する公式

よくある質問

標準化とは？

平均 m・標準偏差 σ の確率変数 X を Z=(X−m)/σ に変えることです。Z は平均0・標準偏差1になり、正規分布なら標準正規分布 N(0,1) にしたがいます。

正規分布表の使い方は？

表の p(u) は 0 から u までの確率（面積）です。Z≧u の確率は 0.5−p(u)、−u≦Z≦u の確率は 2p(u) のように、左右対称と右半分が 0.5 であることを使って求めます。

二項分布の正規近似とは？

試行の回数 n が大きいとき、二項分布 B(n,p) を平均 np・分散 np(1−p) の正規分布で近似して確率を求める方法です。

何年生で習いますか？

高校の数学B「統計的な推測」で、二項分布・正規分布・統計的な推定や仮説検定とあわせて学びます。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学B（統計的な推測）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦