ガウス積分の公式｜∫e^(−x²)dx=√πの証明（極座標）・広義積分の収束と例題【大学院入試・微分積分】

ガウス積分の公式｜∫e^(−x²)dx=√πの証明（極座標）・広義積分の収束と例題【大学院入試・微分積分】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 関数

大学院入試

∫−∞∞e−x2 dx=π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}

a>0a>0 なら ∫−∞∞e−ax2 dx=πa\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}

この公式のポイント

  • 原始関数は書けないが、2乗して重積分にすると求まる
  • 極座標 dx dy=r dr dθdx\,dy=r\,dr\,d\theta で re−r2re^{-r^2} が積分できる
  • 正方形を2つの円ではさむと極限がきちんと示せる
  • 広義積分はまず収束を確かめる
うかるくん

うかるくん

e−x2e^{-x^2} の原始関数は書けないのに、どうして積分の値が π\sqrt\pi と分かるの？

合格先生

合格先生

2乗して xx と yy の重積分にするんだ。極座標にすると re−r2re^{-r^2} が積分できて π\pi。最後に平方根をとれば π\sqrt\pi だぞ。

ガウス積分と広義積分

e−x2e^{-x^2} の原始関数は、よく知っている関数（多項式・指数・三角関数など）の組み合わせでは書けません。それでも、−∞-\infty から ∞\infty までの広義積分なら値がきれいに求まります。これがガウス積分です。

ガウス積分

∫−∞∞e−x2 dx=π,∫0∞e−x2 dx=π2\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi,\qquad\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}{2}∫−∞∞e−ax2 dx=πa(a>0)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\quad(a>0)

広義積分とは、区間が無限に長い、または関数が区間のはしで発散するときの積分を、極限で定めたものです。

∫a∞f(x) dx=lim⁡R→∞∫aRf(x) dx,∫01f(x) dx=lim⁡ε→+0∫ε1f(x) dx\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_a^Rf(x)\,dx,\qquad\int_0^1f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to+0}\int_\varepsilon^1f(x)\,dx

基本の例：∫1∞dxxp\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^p} は p>1p>1 のとき収束、∫01dxxp\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p} は p<1p<1 のとき収束。

xy−3−2−11231O面積 √π≒1.772y＝e^(−x²)y＝e^(−x)（x≧1 では上）
つりがね形 y=e−x2y=e^{-x^2} の下の面積が π\sqrt\pi。x≥1x\ge1 では e−x2≤e−xe^{-x^2}\le e^{-x}

証明

① 収束すること

x≥1x\ge1 では x2≥xx^2\ge x なので 0<e−x2≤e−x0<e^{-x^2}\le e^{-x}。∫1∞e−x dx=e−1\displaystyle\int_1^\infty e^{-x}\,dx=e^{-1} は有限なので、∫1Re−x2 dx\displaystyle\int_1^Re^{-x^2}\,dx は RR について増加し、上に有界です。よって R→∞R\to\infty で収束します（図1のオレンジの線）。x≤−1x\le-1 も同じです。

② 2乗して極座標

IR=∫−RRe−x2 dxI_R=\displaystyle\int_{-R}^{R}e^{-x^2}\,dx とすると、2乗は正方形 SR: ∣x∣≤R, ∣y∣≤RS_R:\ |x|\le R,\ |y|\le R 上の重積分です。

IR 2=∫−RRe−x2 dx∫−RRe−y2 dy=∬SRe−(x2+y2) dx dyI_R^{\,2}=\int_{-R}^{R}e^{-x^2}\,dx\int_{-R}^{R}e^{-y^2}\,dy=\iint_{S_R}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy

半径 ρ\rho の円板 DρD_\rho の上なら、極座標（dx dy=r dr dθdx\,dy=r\,dr\,d\theta）で計算できます。

∬Dρe−(x2+y2) dx dy=∫02π∫0ρe−r2r dr dθ=π(1−e−ρ2)\iint_{D_\rho}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy=\int_0^{2\pi}\int_0^\rho e^{-r^2}r\,dr\,d\theta=\pi\left(1-e^{-\rho^2}\right)

③ はさみうち

DR⊂SR⊂D2RD_R\subset S_R\subset D_{\sqrt2R} で、e−(x2+y2)>0e^{-(x^2+y^2)}>0 なので

π(1−e−R2)≤IR 2≤π(1−e−2R2)\pi\left(1-e^{-R^2}\right)\le I_R^{\,2}\le\pi\left(1-e^{-2R^2}\right)

R→∞R\to\infty とすると両はしが π\pi に近づくので IR 2→πI_R^{\,2}\to\pi。IR>0I_R>0 より ∫−∞∞e−x2 dx=π\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi です。e−x2e^{-x^2} は偶関数なので、00 から ∞\infty までは π2\dfrac{\sqrt\pi}2。a>0a>0 の形は x=tax=\dfrac{t}{\sqrt a} と置換すれば出ます。

R√2R円（半径 R）π(1−e^(−R²))正方形（1辺 2R）（−R から R までの積分）²円（半径 √2R）π(1−e^(−2R²))R→∞ で両はしが π→ まん中も π
円 ⊂\subset 正方形 ⊂\subset 大きい円。両側の円の値が π\pi に近づくので、正方形の値も π\pi に近づく

大学院入試では

院試ではガウス積分そのものの証明に加えて、置換・部分積分・平方完成でガウス積分に持ちこむ計算がよく出ます。

大学院入試

例題1（係数つき）

a>0a>0 のとき、∫0∞e−ax2 dx\displaystyle\int_0^\infty e^{-ax^2}\,dx を求めなさい。

解き方

x=tax=\dfrac{t}{\sqrt a} とおくと dx=dtadx=\dfrac{dt}{\sqrt a}、範囲は 0→∞0\to\infty のまま。

∫0∞e−t2dta=1a⋅π2\displaystyle\int_0^\infty e^{-t^2}\frac{dt}{\sqrt a}=\frac1{\sqrt a}\cdot\frac{\sqrt\pi}2。

答え　12πa\dfrac12\sqrt{\dfrac\pi a}

大学院入試

例題2（部分積分）

∫−∞∞x2e−x2 dx\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-x^2}\,dx を求めなさい。

解き方

x2e−x2=x⋅xe−x2x^2e^{-x^2}=x\cdot xe^{-x^2}、(−12e−x2)′=xe−x2\left(-\dfrac12e^{-x^2}\right)^{\prime}=xe^{-x^2} を使って部分積分。

∫−RRx2e−x2dx=[−x2e−x2]−RR+12∫−RRe−x2dx\displaystyle\int_{-R}^{R}x^2e^{-x^2}dx=\left[-\frac x2e^{-x^2}\right]_{-R}^{R}+\frac12\int_{-R}^{R}e^{-x^2}dx。

R→∞R\to\infty で第1項は −Re−R2→0-Re^{-R^2}\to0。よって 12π\dfrac12\sqrt\pi。これは平均0・分散 12\dfrac12 の正規分布の分散の計算と同じです。

答え　π2\dfrac{\sqrt\pi}{2}

大学院入試

例題3（正規分布の全確率）

σ>0\sigma>0 のとき、∫−∞∞12π σe−(x−μ)22σ2 dx=1\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx=1 を示しなさい。

解き方

t=x−μ2 σt=\dfrac{x-\mu}{\sqrt2\,\sigma} とおくと dx=2 σ dtdx=\sqrt2\,\sigma\,dt。

12π σ∫−∞∞e−t22 σ dt=2 σ2π σπ=1\displaystyle\frac1{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}\sqrt2\,\sigma\,dt=\frac{\sqrt2\,\sigma}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\sqrt\pi=1。

答え　証明終わり（正規分布の密度関数の積分は1）

学部の授業とのつながり・院試での注意

  • どの授業で習うか：大学1年の微分積分学（広義積分・重積分の変数変換）で習います。確率統計では正規分布の基礎になります。
  • 答案で示すこと：①広義積分が収束すること（e−xe^{-x} などと比べる）、②2乗して重積分にする、③極座標と、正方形と円の極限の扱い（はさみうち）。「2乗して極座標」だけで終わると、極限の部分が抜けていると見なされることがあります。
  • よく出る形：∫x2ne−x2dx\displaystyle\int x^{2n}e^{-x^2}dx（部分積分のくり返し）、e−x2+bxe^{-x^2+bx}（平方完成）、ガンマ関数で Γ ⁣(12)=π\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt\pi を示す問題。
  • 収束の判定：広義積分は、まず収束するかどうかを確かめます。1xp\dfrac1{x^p} と比べる方法が基本です。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

2乗した値が π\pi だ。答えを π\pi のままにせず、平方根をとって π\sqrt\pi にしよう。

  • 原始関数を探そうとする：e−x2e^{-x^2} の原始関数は初等関数では書けません。不定積分ではなく、−∞-\infty から ∞\infty までの定積分だからこそ値が出ます。
  • 答えを π\pi にしてしまう：2乗した値が π\pi です。最後に平方根をとって π\sqrt\pi。
  • 半分の区間で π\sqrt\pi と書く：∫0∞e−x2dx=π2\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}2。区間に注意しましょう。

練習問題

ひらめいたうかるくん

うかるくん

平方完成と置換で、ガウス積分の形に持ちこもう！

  1. 大学院入試 ∫0∞e−x22 dx\displaystyle\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx を求めなさい。
    答えと解説を見るa=12a=\dfrac12 の場合。12π1/2=2π2\dfrac12\sqrt{\dfrac{\pi}{1/2}}=\dfrac{\sqrt{2\pi}}2。答え π2\sqrt{\dfrac\pi2}（約 1.25331.2533）
  2. 大学院入試 ∫−∞∞e−x2+2x dx\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2+2x}\,dx を求めなさい。
    答えと解説を見る平方完成 −x2+2x=−(x−1)2+1-x^2+2x=-(x-1)^2+1。t=x−1t=x-1 とおいて e∫−∞∞e−t2dt=eπe\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}dt=e\sqrt\pi。答え eπe\sqrt\pi
  3. 大学院入試 ∫0∞x4e−x2 dx\displaystyle\int_0^\infty x^4e^{-x^2}\,dx を求めなさい。
    答えと解説を見る部分積分 ∫0∞x3⋅xe−x2dx=[−x32e−x2]0∞+32∫0∞x2e−x2dx\displaystyle\int_0^\infty x^3\cdot xe^{-x^2}dx=\left[-\frac{x^3}2e^{-x^2}\right]_0^\infty+\frac32\int_0^\infty x^2e^{-x^2}dx。例題2より ∫0∞x2e−x2dx=π4\displaystyle\int_0^\infty x^2e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}4 なので 32⋅π4\dfrac32\cdot\dfrac{\sqrt\pi}4。答え 3π8\dfrac{3\sqrt\pi}8

関連する公式

よくある質問

ガウス積分とは？

e^(−x²) を −∞ から ∞ まで積分すると √π になる、という積分です。0 から ∞ までなら √π/2 です。

どうやって証明しますか？

積分を2乗して x と y の重積分にし、極座標に変えると re^(−r²) が積分できて π になります。最後に平方根をとって √π です。正方形の領域は2つの円ではさんで極限をとります。

広義積分とは？

区間が無限に長いときや、関数が区間のはしで発散するときに、積分の範囲を少し短くして計算し、その極限で定める積分です。

正規分布との関係は？

正規分布の密度関数の積分が1になること（全確率が1）は、ガウス積分を置換して示せます。

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出典・参考

  • 大学初年級の微分積分学（広義積分・重積分）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦