スターリングの公式｜n!≒√(2πn)(n/e)^nの意味と証明（積分ではさむ・ウォリス積分）・けた数の見当づけ【大学数学・東大京大レベル】

スターリングの公式

$n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$ は $n$ が大きくなると急に大きくなります。その大きさを、$\sqrt{\ }$・$\pi$・$e$ を使ったかんたんな式で近似するのがスターリングの公式です。

たとえば $10!=3628800$ に対し、$\sqrt{20\pi}\left(\dfrac{10}{e}\right)^{10}=3598695.6\cdots$ で、ずれは約 $0.8\%$ です。

証明（3段階。②は考え方＝略証）

① おおまかな大きさ：積分ではさむ

$\log n!=\log2+\log3+\cdots+\log n$ は、図2のような幅1の長方形の面積の和です。$y=\log x$ は増加関数なので

$$\int_1^n\log x\,dx\le\log n!\le\int_1^{n+1}\log x\,dx$$

$\displaystyle\int\log x\,dx=x\log x-x+C$ を使うと $n\log n-n+1\le\log n!\le(n+1)\log(n+1)-n$。つまり

$$e\left(\frac ne\right)^n\le n!\le\frac{(n+1)^{n+1}}{e^n}$$

$n!$ の大きさの主役は $\left(\dfrac ne\right)^n$ だと分かります。

② $\dfrac{n!\,e^n}{n^{n+\frac12}}$ が正の数 $C$ に近づく（略証）

$y=\log x$ は上に凸なので、区間 $[k,k+1]$ で台形の面積 $\dfrac{\log k+\log(k+1)}{2}$ は積分より小さく、その差を $d_k\ (\ge0)$ とします。$k=1$ から $n-1$ までたすと

$$\log n!-\frac12\log n=\int_1^n\log x\,dx-\sum_{k=1}^{n-1}d_k=n\log n-n+1-\sum_{k=1}^{n-1}d_k$$

よって $a_n=\dfrac{n!\,e^n}{n^{n+\frac12}}$ とおくと $\log a_n=1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}d_k$。$d_k\ge0$ なので $a_n$ は減少します。さらに台形の誤差の評価から $d_k\le\dfrac{1}{12k^2}$ 程度で、$\displaystyle\sum d_k$ は収束します（この評価は高校の範囲をこえるので略します）。したがって $a_n$ はある正の数 $C$ に近づき、$n!\sim C\sqrt n\left(\dfrac ne\right)^n$。

③ $C=\sqrt{2\pi}$ をウォリス積分で決める

$I_m=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^mx\,dx$ について、$I_{2n}=\dfrac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots2n}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\cdot\dfrac{\pi}{2}$、また $\sqrt{2n}\,I_{2n}\to\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$ です（ウォリス積分のページの例題3）。ここに $n!\sim C\sqrt n\left(\dfrac ne\right)^n$ を入れると

$$\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\sim\frac{C\sqrt{2n}\left(\dfrac{2n}{e}\right)^{2n}}{4^n\,C^2n\left(\dfrac ne\right)^{2n}}=\frac{\sqrt2}{C\sqrt n}$$

なので $\sqrt{2n}\,I_{2n}\sim\sqrt{2n}\cdot\dfrac{\sqrt2}{C\sqrt n}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{C}$。これが $\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$ に等しいので $C=\dfrac{\pi}{\sqrt{\pi/2}}=\sqrt{2\pi}$。

大学受験での使い方

入試で公式そのものを使うことはまずありませんが、$n!$ の大きさの見当づけと、積分ではさむ・区分求積で極限を出す問題の背景として役立ちます。

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

• 範囲：スターリングの公式は高校の教科書の範囲外です。①の積分ではさむ部分と③のウォリス積分は数学Ⅲの道具で書けますが、②の誤差の評価と全体の組み立ては大学の微分積分学の内容です。
• 答案にそのまま使わない：「スターリングの公式より」は証明なしの引用になります。例題3のように、区分求積法や積分によるはさみうちで示しましょう。
• 見当づけ・検算：$n!$ と $a^n$ や $n^n$ のどちらが速く大きくなるか、$\sqrt[n]{n!}$ がどのくらいかなど、答えの見当をつけるのに便利です。
• 入試の背景：難関大の入試では、「$\log n!$ を $\int\log x\,dx$ ではさむ」「$\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ の極限を区分求積で求める」「ウォリス積分の極限を求める」のように、スターリングの公式が背景になっている問題があります。

よくある間違い

• $\left(\dfrac ne\right)^n$ だけで近似する：$n!\div\left(\dfrac ne\right)^n$ は $\sqrt{2\pi n}$ くらいで、$n\to\infty$ で1に近づかず、どんどん大きくなります。$\sqrt{2\pi n}$ を落とすと「$\sim$」は成り立ちません。
• 「$\sim$」を「差が0に近づく」と思う：近づくのは比です。差は、$n=10$ でも $3628800-3598695.6\cdots\fallingdotseq30104$ あり、$n$ が大きくなると差はむしろ大きくなります。
• 自然対数と常用対数をまぜる：けた数は $\log_{10}$ で調べます。$\log_{10}\dfrac ne=\log_{10}n-\log_{10}e$ で、$\log_{10}e=0.4343$ を使います。

練習問題

1. 大学受験 スターリングの公式を使って、${}_{2n}\mathrm{C}_n=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$ の近似式を求めなさい。また $n=10$ で値をくらべなさい。
   答えと解説を見る

   $\dfrac{\sqrt{4\pi n}\left(\dfrac{2n}{e}\right)^{2n}}{2\pi n\left(\dfrac ne\right)^{2n}}=\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$。$n=10$ では $\dfrac{4^{10}}{\sqrt{10\pi}}\fallingdotseq187079$、真の値 ${}_{20}\mathrm{C}_{10}=184756$
2. 大学受験 $50!$ は何けたか、スターリングの公式で見当をつけなさい（$\log_{10}e=0.4343$、$\log_{10}(100\pi)=2.497$、$\log_{10}5=0.699$ とする）。
   答えと解説を見る

   $\dfrac12\log_{10}(100\pi)+50(\log_{10}50-\log_{10}e)=1.249+50(1.699-0.4343)=1.249+63.235=64.48$。よって65けた（実際に65けた）
3. 大学受験 $n\ge1$ のとき $n!\ge e\left(\dfrac ne\right)^n$ を示しなさい。
   答えと解説を見る

   $y=\log x$ は増加関数なので、$\log k\ge\displaystyle\int_{k-1}^k\log x\,dx$（$k\ge2$）。たして $\log n!\ge\displaystyle\int_1^n\log x\,dx=n\log n-n+1$。両辺を $e$ の指数にして完成（$n=1$ は等号）

関連する公式

• ウォリス積分（$\sqrt{2\pi}$ を決める）
• 区分求積法
• 積分による不等式の評価（和と積分の大小）
• 順列・組合せ（$n!$）
• 自然対数の底 e の定義
• 常用対数とけた数
• ガンマ関数・ベータ関数

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）