自然対数の底 e の定義 lim(1＋1/n)ⁿ｜なぜ e を使うのか・極限があることの証明（二項定理）・e² や 1/e になる極限の例題【大学数学・東大京大レベル】

自然対数の底 e の定義

$e$ はネイピア数ともよばれます。対数を考え出したネイピアにちなむ名前です。$e$ は分数で表せない数（無理数）で、$2.71828\cdots$ と限りなく続きます。

イメージ（複利）：1年で100%の利息がつく預金で、利息を年に $n$ 回に分けてつけ、そのたびに元金に入れる（複利）と、1年後には $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 倍になります。$n=1$ なら2倍、$n=12$（毎月）なら約2.613倍。どんなに回数をふやしても、$e\fallingdotseq2.718$ 倍をこえません。

証明：なぜこの極限を e とするのか・極限があること

① 傾き1になる底をさがすと出てくる

$y=a^x$ の $x=0$ での接線の傾きは $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$ です。これがちょうど1になる底 $a$ を使うと、$(a^x)'=a^x$ となって微分がもっとも簡単になります。

傾きが1なら、小さい $h$ で $a^h\fallingdotseq1+h$、つまり $a\fallingdotseq(1+h)^{\frac1h}$。そこで、$h\to0$ の極限を $e$ と決めるのです。$h=\dfrac1n$ とおけば $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ になります。

② (1＋1/n)ⁿ は増加し、3 をこえない

$a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$ を二項定理で展開します。$k$ 番目の項は ${}_n\mathrm{C}_k\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\,n^k}$ なので

$$a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$$

増加：$n$ を $n+1$ にすると、かっこの中 $1-\dfrac{j}{n}$ はどれも大きくなり、さらに正の項が1つふえます。だから $a_n<a_{n+1}$。

3をこえない：かっこの中はどれも1以下なので、$k!\ge2^{k-1}$（$k\ge1$）を使って

$$a_n\le\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\le1+1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^{n-1}}<1+\frac{1}{1-\frac12}=3$$

増加し続けるが上限がある数列は収束する（実数の性質。高校では認めて使います）ので、極限 $e$ があり、$2<e\le3$ です。くわしく計算すると $e=2.71828\cdots$。（$\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$ は減少して上から $e$ に近づくことも知られています。）

③ (log x)' ＝ 1/x が出る

$h\to0$ のとき、$t=\dfrac hx$ とおくと

$$\frac{\log(x+h)-\log x}{h}=\frac1x\cdot\frac{1}{t}\log(1+t)=\frac1x\log(1+t)^{\frac1t}\to\frac1x\log e=\frac1x$$

これが微分の公式 $(\log x)'=\dfrac1x$ の証明で、$e$ の定義がそのまま使われます。

大学受験（数学Ⅲ 極限）での使い方

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

• 定義は数学Ⅲの範囲：$e=\lim(1+h)^{\frac1h}$ と、$(\log x)'=\dfrac1x$、$(e^x)'=e^x$ は数学Ⅲの教科書で学びます。答案で「$\displaystyle\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}=e$」を使うのは問題ありません。
• 範囲をこえる部分：この極限が本当にあること（増加して上限がある数列は収束すること）は、高校では認めて使います。$e=1+1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\cdots$ という表し方も、教科書の範囲外（大学で学ぶマクローリン展開）です。
• 入試での出方：「$a_n$ が増加することを示せ」「$a_n<3$ を示せ」のように、上の証明②そのものが問われることがあります。また、積分を使って $2.7<e<2.8$ を示すような評価の問題が、難関大の入試の背景になっていることがあります。
• 検算に使う：$\left(1+\dfrac an\right)^{bn}\to e^{ab}$ と覚えておくと、答えの見当がすぐにつきます。答案では例題1のように $h$ でおきかえて書きましょう。

よくある間違い

• $1^\infty=1$ と考える：$1+\dfrac1n\to1$ でも、$n$ 乗するので $\left(1+\dfrac1n\right)^n\to1$ にはなりません。極限は $e$ です。
• $\left(1+\dfrac2n\right)^n$ を $e$ とする：かっこの中と指数の形がそろっていません。正しくは $e^2$。
• $e$ を $2.7$ ちょうど・分数と思う：$e$ は無理数で、$2.71828\cdots$ と続きます。

練習問題

1. 大学受験 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n$ を求めなさい。
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   $\left\{\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^{2n}\right\}^{\frac12}\to e^{\frac12}=\sqrt e$
2. 大学受験 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac3n\right)^{2n}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $h=\dfrac3n$ とおくと $(1+h)^{\frac6h}=\left\{(1+h)^{\frac1h}\right\}^6\to e^6$
3. 大学受験 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\dfrac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\to\dfrac1e$

関連する公式

• 指数法則と対数の公式
• 数列の極限・無限等比級数
• 微分の公式
• 二項定理
• オイラーの公式
• マクローリン展開

よくある質問

あわせて読みたい

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