指数法則と対数の公式｜log の公式の証明・底の変換・0乗が1の理由・常用対数とけた数の例題【大学受験 数学Ⅱ】

指数法則

証明（$m,\ n$ が自然数のとき）：$a^m\times a^n$ は「$a$ を $m$ 個かけたもの」と「$n$ 個かけたもの」をかけるので、全部で $m+n$ 個。$(a^m)^n$ は「$m$ 個かけたもの」を $n$ セットかけるので $mn$ 個です。

0乗・負の指数・分数の指数の決め方

指数法則がいつでも成り立つように、次のように決めます（定義）。

「$2^0=1$ はなぜ？」の答えは、「指数法則がくずれないように、そう決めた」です。

対数とは

$a^p=M$ のとき、$p$ を「$a$ を底とする $M$ の対数」といい、$p=\log_aM$ と書きます（$a>0$、$a\neq1$、$M>0$）。対数は「何乗か」を表す数です。

$$a^p=M\iff p=\log_aM\qquad\text{例：}2^3=8\iff\log_28=3$$

対数の公式の証明（指数法則から）

$\log_aM=p$、$\log_aN=q$ とおくと、$M=a^p$、$N=a^q$。

• 積：$MN=a^p\cdot a^q=a^{p+q}$。対数の定義から $\log_aMN=p+q=\log_aM+\log_aN$。
• 商：$\dfrac MN=a^{p-q}$ より $\log_a\dfrac MN=p-q$。
• 累乗：$M^r=(a^p)^r=a^{pr}$ より $\log_aM^r=pr=r\log_aM$。
• 底の変換：$M=a^p$ の両辺の、底 $b$ の対数をとると $\log_bM=p\log_ba$。よって $p=\dfrac{\log_bM}{\log_ba}$。

対数の公式は、すべて指数法則を「何乗か」の言葉で言いかえたものです。かけ算がたし算になるのは、指数ではかけ算が「指数のたし算」になるからです。

指数関数と対数関数のグラフ

$y=\log_ax$ は $y=a^x$ の逆関数なので、2つのグラフは直線 $y=x$ について対称です。$y=a^x$ は必ず $(0,\ 1)$ を、$y=\log_ax$ は必ず $(1,\ 0)$ を通ります。

常用対数とけた数

底が10の対数 $\log_{10}M$ を常用対数といいます。$\log_{10}2\fallingdotseq0.3010$、$\log_{10}3\fallingdotseq0.4771$ を使うと、大きな数のけた数が分かります。$N$ が $k$ けたの整数 $\iff10^{k-1}\le N<10^k\iff k-1\le\log_{10}N<k$ です。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

• $\log_a(M+N)=\log_aM+\log_aN$ としてしまう：たし算になるのは「積」の対数。
• $a^m\times a^n=a^{mn}$ としてしまう：かけ算は指数のたし算。
• 真数条件を忘れる：$\log_aM$ の $M$ は正。方程式では最後に確かめる。

練習問題

1. 大学受験 $27^{\frac13}+16^{\frac34}$ を計算しなさい。
   答えと解説を見る

   $27^{\frac13}=3$、$16^{\frac34}=(2^4)^{\frac34}=2^3=8$。答え $11$
2. 大学受験 $\log_3 54-\log_3 2$ を計算しなさい。
   答えと解説を見る

   $\log_3 27=3$。答え $3$
3. 大学受験 $\log_2 3\times\log_3 8$ を計算しなさい。
   答えと解説を見る

   底の変換で $\dfrac{\log 3}{\log 2}\times\dfrac{\log 8}{\log 3}=\dfrac{3\log 2}{\log 2}=3$。答え $3$

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よくある質問

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