常用対数とけた数の求め方｜k−1≦log₁₀N＜k の証明・最高位の数字・小数第何位・2の50乗の例題【数学Ⅱ・大学受験】

常用対数とけた数の求め方｜k−1≦log₁₀N＜k の証明・最高位の数字・小数第何位・2の50乗の例題【数学Ⅱ・大学受験】

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大学受験

N が k けた  ⟺  k−1≤log⁡10N<kN\ \text{が}\ k\ \text{けた}\iff k-1\le\log_{10}N<k

log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010、log⁡103=0.4771\log_{10}3=0.4771 を使う

この公式のポイント

  • kk けた ⇔ k−1≤log⁡10N<kk-1\le\log_{10}N<k（整数部分＋1がけた数）
  • 最高位は小数部分が log⁡10d\log_{10}d と log⁡10(d+1)\log_{10}(d+1) の間かで決まる
  • 小数第 mm 位 ⇔ −m≤log⁡10N<−m+1-m\le\log_{10}N<-m+1
  • log⁡10x\log_{10}x が増加関数なので、各辺の対数をとれる
うかるくん

うかるくん

log⁡10N=15.05\log_{10}N=15.05 なら、NN は15けたじゃないの？

合格先生

合格先生

16けただ。k−1≤log⁡10N<kk-1\le\log_{10}N<k だから、整数部分＋1がけた数になるぞ。

常用対数とけた数の公式

10を底とする対数 log⁡10N\log_{10}N を常用対数といいます。2502^{50} のような大きな数のけた数や最高位の数字、とても小さな数が小数第何位で初めて0でない数字になるかは、常用対数で求められます。

けた数・最高位・小数第何位

けた数：NN が kk けたの整数 ⇔ 10k−1≤N<10k10^{k-1}\le N<10^k ⇔

k−1≤log⁡10N<kk-1\le\log_{10}N<k

最高位の数字：log⁡10N\log_{10}N の小数部分を α\alpha とすると、最高位の数字 dd は

log⁡10d≤α<log⁡10(d+1)\log_{10}d\le\alpha<\log_{10}(d+1)

小数第何位：0<N<10<N<1 が小数第 mm 位に初めて0でない数字が現れる ⇔ 10−m≤N<10−m+110^{-m}\le N<10^{-m+1} ⇔

−m≤log⁡10N<−m+1-m\le\log_{10}N<-m+1

よく使う値：log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010、log⁡103=0.4771\log_{10}3=0.4771（ともに近似値）

Nlog10¹⁵1510¹⁶166²⁰15.56215≦log₁₀6²⁰＜16 ⇔ 10¹⁵≦6²⁰＜10¹⁶10¹⁵ は16けたの最小の数 → 6²⁰ は16けた
log⁡10620=15.562\log_{10}6^{20}=15.562 は15以上16未満なので、6206^{20} は16けた
ddlog⁡10d\log_{10}d求め方
220.30100.3010与えられる
330.47710.4771与えられる
440.60200.60202log⁡1022\log_{10}2
550.69900.69901−log⁡1021-\log_{10}2
660.77810.7781log⁡102+log⁡103\log_{10}2+\log_{10}3
880.90300.90303log⁡1023\log_{10}2
990.95420.95422log⁡1032\log_{10}3

log⁡107\log_{10}7 は log⁡102\log_{10}2、log⁡103\log_{10}3 からは求められないので、必要なときは問題で与えられます（log⁡107=0.8451\log_{10}7=0.8451）。

証明：なぜ常用対数でけた数がわかるのか

① けた数：kk けたの整数でいちばん小さいのは 10k−110^{k-1}（1のあとに0が k−1k-1 個）、いちばん大きいのは 99⋯9=10k−199\cdots9=10^k-1 です。よって

N が k けた  ⟺  10k−1≤N<10kN\ \text{が}\ k\ \text{けた}\iff10^{k-1}\le N<10^k

底 1010 は1より大きいので、y=log⁡10xy=\log_{10}x は増加関数です。大小を変えずに各辺の常用対数をとれるので、log⁡1010k−1=k−1\log_{10}10^{k-1}=k-1、log⁡1010k=k\log_{10}10^k=k より k−1≤log⁡10N<kk-1\le\log_{10}N<k。逆もたどれるので「⇔」です。

② 最高位の数字：NN が kk けたで最高位が dd（1≤d≤91\le d\le9）とは

d×10k−1≤N<(d+1)×10k−1d\times10^{k-1}\le N<(d+1)\times10^{k-1}

ということです（最高位が dd の kk けたの数は d00⋯0d00\cdots0 以上、(d+1)00⋯0(d+1)00\cdots0 未満）。常用対数をとると log⁡10d+(k−1)≤log⁡10N<log⁡10(d+1)+(k−1)\log_{10}d+(k-1)\le\log_{10}N<\log_{10}(d+1)+(k-1)。k−1k-1 を移すと

log⁡10d≤log⁡10N−(k−1)<log⁡10(d+1)\log_{10}d\le\log_{10}N-(k-1)<\log_{10}(d+1)

log⁡10N−(k−1)\log_{10}N-(k-1) は log⁡10N\log_{10}N の小数部分 α\alpha です（①より整数部分が k−1k-1）。0≤α<10\le\alpha<1 の区間を log⁡101, log⁡102, ⋯ , log⁡1010\log_{10}1,\ \log_{10}2,\ \cdots,\ \log_{10}10 の目もりで区切り、α\alpha がどの区間に入るかで dd が決まります。

③ 小数第何位：小数第 mm 位に初めて0でない数字が現れる数は、0.00⋯010.00\cdots01（=10−m=10^{-m}）以上、0.00⋯10.00\cdots1（=10−(m−1)=10^{-(m-1)}）未満です。常用対数をとって −m≤log⁡10N<−m+1-m\le\log_{10}N<-m+1。

目もりの数字 d の位置 ＝ log₁₀d12345678910.3010.4771.60200.562log₁₀3≦0.562＜log₁₀4 → 最高位は 3
小数部分 0.562 は log⁡103\log_{10}3 と log⁡104\log_{10}4 の間なので、最高位は3

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

大学受験

例題1（けた数と最高位）

2502^{50} は何けたの整数ですか。また、最高位の数字を求めなさい。ただし log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010 とします。

解き方

log⁡10250=50×0.3010=15.05\log_{10}2^{50}=50\times0.3010=15.05。15≤15.05<1615\le15.05<16 なので 1015≤250<101610^{15}\le2^{50}<10^{16} で、16けた。

小数部分は 0.050.05。log⁡101=0≤0.05<0.3010=log⁡102\log_{10}1=0\le0.05<0.3010=\log_{10}2 なので、最高位は 1。

答え　16けた、最高位は 11

大学受験

例題2（最高位が1でない例）

6206^{20} は何けたの整数ですか。また、最高位の数字を求めなさい。ただし log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010、log⁡103=0.4771\log_{10}3=0.4771 とします。

解き方

log⁡106=0.3010+0.4771=0.7781\log_{10}6=0.3010+0.4771=0.7781。log⁡10620=20×0.7781=15.562\log_{10}6^{20}=20\times0.7781=15.562 なので16けた。

小数部分 0.5620.562 は、log⁡103=0.4771≤0.562<0.6020=log⁡104\log_{10}3=0.4771\le0.562<0.6020=\log_{10}4 なので、最高位は 3。

答え　16けた、最高位は 33

大学受験

例題3（小数第何位）

(12)30\left(\dfrac12\right)^{30} を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れますか。また、その数字を求めなさい。ただし log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010、log⁡103=0.4771\log_{10}3=0.4771 とします。

解き方

log⁡10(12)30=−30×0.3010=−9.03\log_{10}\left(\dfrac12\right)^{30}=-30\times0.3010=-9.03。−10≤−9.03<−9-10\le-9.03<-9 なので、小数第10位に初めて0でない数字が現れる。

−9.03=−10+0.97-9.03=-10+0.97 で、log⁡109=2×0.4771=0.9542≤0.97<1\log_{10}9=2\times0.4771=0.9542\le0.97<1 なので、その数字は 9。

答え　小数第10位、数字は 99

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

−9.03-9.03 の小数部分を 0.030.03 にするのは×。−10+0.97-10+0.97 と見て 0.970.97 だ。

  • けた数を整数部分そのものにする：log⁡10N=15.05\log_{10}N=15.05 なら15けたではなく16けた（整数部分＋1）。
  • 負の対数の小数部分を取りちがえる：−9.03-9.03 の小数部分は 0.030.03 ではなく、−9.03=−10+0.97-9.03=-10+0.97 の 0.970.97。小数部分はいつも 00 以上 11 未満。
  • 最高位の判定で目もりを1つずらす：α\alpha が log⁡103\log_{10}3 と log⁡104\log_{10}4 の間なら最高位は3（4ではない）。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

最高位の数は、小数部分で決まるのね。

  1. 大学受験 3303^{30} は何けたの整数ですか。ただし log⁡103=0.4771\log_{10}3=0.4771 とします。
    答えと解説を見る30×0.4771=14.31330\times0.4771=14.313。14≤14.313<1514\le14.313<15 なので 15けた
  2. 大学受験 5205^{20} は何けたの整数ですか。また最高位の数字は？　ただし log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010、log⁡103=0.4771\log_{10}3=0.4771 とします。
    答えと解説を見るlog⁡105=1−0.3010=0.6990\log_{10}5=1-0.3010=0.6990。20×0.6990=13.9820\times0.6990=13.98 なので14けた。小数部分 0.980.98 は log⁡109=0.9542\log_{10}9=0.9542 以上 11 未満なので最高位は 9
  3. 大学受験 2n2^n が初めて20けた以上になる自然数 nn を求めなさい。ただし log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010 とします。
    答えと解説を見る20けた以上 ⇔ 2n≥10192^n\ge10^{19} ⇔ 0.3010n≥190.3010n\ge19 ⇔ n≥63.1⋯n\ge63.1\cdots。よって n=64n=64

関連する公式

よくある質問

常用対数でけた数を求めるには？

log₁₀N を計算し、k−1≦log₁₀N<k となる整数 k を見つけます。N は k けたです。つまり、整数部分に1をたしたものがけた数です。

最高位の数字はどうやって求めますか？

log₁₀N の小数部分 α が、log₁₀d≦α<log₁₀(d+1) となる d が最高位の数字です。log₁₀2=0.3010、log₁₀3=0.4771 から log₁₀4〜log₁₀9 を作ってくらべます。

小数第何位に初めて0でない数字が現れるかは？

−m≦log₁₀N<−m+1 となる m を求めると、小数第 m 位に初めて0でない数字が現れます。

なぜ各辺の対数をとってよいのですか？

底10が1より大きいので y=log₁₀x は増加関数で、大小関係が変わらないからです。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（指数関数・対数関数）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦