等比数列の和の公式｜S=a(rⁿ−1)/(r−1) の証明（r倍して引く）・無限等比級数と例題【中学受験〜大学受験】

等比数列の和の公式｜S=a(rⁿ−1)/(r−1) の証明（r倍して引く）・無限等比級数と例題【中学受験〜大学受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 数列・規則性

中学受験大学受験

Sn=a(rn−1)r−1(r≠1)S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\quad(r\neq1)

aa：初項　rr：公比　nn：項数　（一般項 an=arn−1a_n=ar^{n-1}）

この公式のポイント

  • 和は a(rn−1)r−1\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}（r≠1r\neq1）。r=1r=1 なら nana
  • 証明は「rr 倍してずらして引く」。まん中がすべて消える
  • −1<r<1-1<r<1 なら無限に足しても a1−r\dfrac{a}{1-r} に近づく
  • 公比2なら「次の数から1を引く」（1+2+4+…+512=1023）
うかるくん

うかるくん

等比数列の和の公式は、どうやって作ったものなの？

合格先生

合格先生

SS と rSrS を1つずらして並べ、引くんだ。まん中が全部消えて aa と −arn-ar^n だけ残るぞ。

等比数列の和の公式

等比数列は、となりどうしの比がいつも同じ数の並びです。たとえば 3, 6, 12, 24, …3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \dots は、どこでも2倍なので等比数列です。この倍率を公比といいます。

等比数列の和の公式

Sn=a(1−rn)1−r=a(rn−1)r−1(r≠1)S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\qquad(r\neq1)

aa：初項、rr：公比、nn：項数。r=1r=1 のときは Sn=naS_n=na。一般項は an=arn−1a_n=ar^{n-1}。

rr の大きさ使いやすい形
r>1r>1a(rn−1)r−1\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}（分母・分子とも正）
r<1r<1a(1−rn)1−r\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
r=1r=1nana（同じ数を nn 個足すだけ）

証明：r 倍してずらして引く

和 SS と、それを rr 倍した rSrS を、1つずらして並べます。

S=a+ar+ar2+⋯+arn−1rS=a+ar+ar2+⋯+arn−1+arn\begin{aligned}S&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}\\ rS&=\phantom{a+{}}ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n\end{aligned}

上から下を引くと、まん中がすべて消えて、

S−rS=a−arn⟹(1−r)S=a(1−rn)S-rS=a-ar^n\quad\Longrightarrow\quad(1-r)S=a(1-r^n)
aarar0ar²ar²0……0arⁿ⁻¹arⁿ⁻¹0arⁿSrSS−rSa−arⁿ灰色は上下で同じ → 引くと消える(1−r)S＝a−arⁿ
SS と rSrS を1つずらして並べると、arar から arn−1ar^{n-1} までが上下でそろうので、引くと aa と −arn-ar^n だけが残る

r≠1r\neq1 なら両辺を 1−r1-r で割って S=a(1−rn)1−rS=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}。等差数列の和が「逆に並べて足す」のに対し、等比数列の和は「rr 倍してずらして引く」のが本質です。

無限等比級数：限りなく足すと？

1/21/41/81/161/2＋1/4＋1/8＋…→ 限りなく 1（面積1の正方形）
半分、その半分、さらに半分…と足していくと、合計は1に限りなく近づく

−1<r<1-1<r<1 なら、nn を大きくすると rnr^n は0に近づくので、和は a1−r\dfrac{a}{1-r} に近づきます（数学Ⅲ）。

a+ar+ar2+⋯=a1−r(−1<r<1)a+ar+ar^2+\cdots=\frac{a}{1-r}\qquad(-1<r<1)

たとえば 12+14+18+⋯=1/21−1/2=1\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots=\dfrac{1/2}{1-1/2}=1。0.999⋯=10.999\cdots=1 も、910+9100+⋯=9/101−1/10=1\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{100}+\cdots=\dfrac{9/10}{1-1/10}=1 と説明できます。

中学受験（算数）では

中学受験では「等比数列」という言葉はあまり使いませんが、倍々に増える数（1、2、4、8、…）の合計はよく出ます。公比2の場合は「次の数から1を引く」と覚えると便利です。

中学受験

例題1（倍々の合計）

1円、2円、4円、8円、…と、毎日前の日の2倍のお金をもらいます。10日間で合計いくらもらえますか。

解き方

10日目は 29=5122^9=512 円。1+2+4+⋯+5121+2+4+\cdots+512 は「次の数（1024）から1を引いた数」なので 10231023 円。

（公式でも 1×(210−1)2−1=1023\dfrac{1\times(2^{10}-1)}{2-1}=1023）

答え　10231023 円

「次の数から1を引く」理由も、上の「2倍してずらして引く」証明そのものです：2S−S=1024−12S-S=1024-1。

大学受験（数学B・Ⅲ）での使い方

等比数列は数学B「数列」で学びます。ローンや貯金の複利計算、漸化式 an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q の解法、確率の漸化式などで必ず使います。数学Ⅲでは無限等比級数を学びます。

大学受験

例題2（基本）

初項 33、公比 22 の等比数列の、初項から第 88 項までの和を求めなさい。

解き方

S8=3(28−1)2−1=3×255=765S_8=\dfrac{3(2^8-1)}{2-1}=3\times255=765。

答え　765765

大学受験

例題3（公比を求める）

等比数列で、第2項が 66、第5項が 162162 のとき、初項と公比を求めなさい（公比は実数）。

解き方

ar=6ar=6、ar4=162ar^4=162。割ると r3=27r^3=27、r=3r=3。a=2a=2。

答え　初項 22、公比 33

大学受験

例題4（無限等比級数）

0.2˙7˙=0.272727⋯0.\dot{2}\dot{7}=0.272727\cdots を分数で表しなさい。

解き方

27100+2710000+⋯\dfrac{27}{100}+\dfrac{27}{10000}+\cdots は初項 27100\dfrac{27}{100}、公比 1100\dfrac{1}{100} の無限等比級数。

和は 27/1001−1/100=2799=311\dfrac{27/100}{1-1/100}=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}。

答え　311\dfrac{3}{11}

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

r=1r=1 のときに公式を使うと、分母が0になる。そのときは nana で求めよう。

  • 指数を n−1n-1 と nn で取りちがえる：一般項は arn−1ar^{n-1}、和の公式の中は rnr^n。
  • r=1r=1 のときに公式を使う：分母が0になる。r=1r=1 なら nana。
  • 無限等比級数の条件：−1<r<1-1<r<1 でないと和は求まらない（発散する）。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

公比2なら「次の数から1を引く」だよ。

  1. 中学受験 1+3+9+27+811+3+9+27+81 を計算しなさい。
    答えと解説を見るそのまま足しても 121121。公式でも 35−13−1=2422=121\dfrac{3^5-1}{3-1}=\dfrac{242}{2}=121。答え 121121
  2. 大学受験 初項 11、公比 12\dfrac{1}{2} の等比数列の初項から第 66 項までの和を求めなさい。
    答えと解説を見る1−(1/2)61−1/2=2(1−164)=6332\dfrac{1-(1/2)^6}{1-1/2}=2\left(1-\dfrac{1}{64}\right)=\dfrac{63}{32}。答え 6332\dfrac{63}{32}
  3. 大学受験 ∑k=1n2k\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^{k} を求めなさい。
    答えと解説を見る初項 22、公比 22、項数 nn。2(2n−1)2−1=2n+1−2\dfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2。答え 2n+1−22^{n+1}-2

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よくある質問

等比数列の和の公式は？

初項 a、公比 r（r≠1）、項数 n のとき、S=a(1−rⁿ)/(1−r)=a(rⁿ−1)/(r−1) です。r=1 のときは na です。

等比数列の和の公式はどう証明しますか？

和 S と、それを r 倍した rS を1つずらして並べて引くと、まん中の項がすべて消え、(1−r)S=a(1−rⁿ) が得られます。

無限等比級数の和は？

−1<r<1 のとき、a+ar+ar²+… は a/(1−r) に近づきます。

1+2+4+…+512 はいくつですか？

1023です。公比2の等比数列の和は「次の数（1024）から1を引いた数」になります。

等比数列は何年生で習いますか？

高校の数学B「数列」で習います。無限等比級数は数学Ⅲです。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学B（数列）・数学Ⅲ（極限）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦