Σ（シグマ）の公式｜Σk²=n(n+1)(2n+1)/6・Σk³ の証明（望遠鏡和）と計算例題【大学受験 数学B】

Σ（シグマ）の公式｜Σk²=n(n+1)(2n+1)/6・Σk³ の証明（望遠鏡和）と計算例題【大学受験 数学B】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 数列・規則性

大学受験

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

∑k=n(n+1)2\sum k=\dfrac{n(n+1)}{2}　∑k3={n(n+1)2}2\sum k^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2

この公式のポイント

  • ∑k=n(n+1)2\sum k=\dfrac{n(n+1)}{2}、∑k2=n(n+1)(2n+1)6\sum k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}、∑k3=(∑k)2\sum k^3=\left(\sum k\right)^2
  • ∑k2\sum k^2 は (k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 を足し合わせて証明（となりどうしが消える）
  • Σは足し算を分けられ、定数を前に出せる。積は分けられない
  • 部分分数分解で「となりどうしが消える」形にする問題が頻出
うかるくん

うかるくん

∑k2\sum k^2 の公式は、どうしてあんな形になるの？

合格先生

合格先生

(k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 を全部足すんだ。左辺はとなりどうしが消えて、最初と最後だけ残るぞ。

Σ（シグマ）の公式

∑k=1nak\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k は「a1a_1 から ana_n までを全部足す」という意味の記号です。Σ はギリシャ文字のシグマで、Sum（和）の S にあたります。

よく使うΣの公式

∑k=1nk=n(n+1)2∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6∑k=1nk3={n(n+1)2}2\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\qquad\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\qquad\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2

ほかに ∑k=1nc=nc\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=nc（定数を nn 個足す）、∑k=1nrk−1=rn−1r−1\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}。

nn1+2+⋯+n1+2+\cdots+n12+22+⋯+n21^2+2^2+\cdots+n^213+23+⋯+n31^3+2^3+\cdots+n^3
11111111
22335599
336614143636
4410103030100100
1010555538538530253025

表を見ると、3乗の和は1乗の和の2乗になっています（36=6236=6^2、100=102100=10^2、3025=5523025=55^2）。

Σk の証明

1+2+⋯+n1+2+\cdots+n は初項1、末項 nn の等差数列の和なので、n(1+n)2\dfrac{n(1+n)}{2}。これは等差数列の和の公式（逆に並べて足す）そのものです。

n＋1＝5n＝4青＝1＋2＋3＋4橙＝4＋3＋2＋1合わせて 4×5＝201つ分は 20÷2＝10
1+2+3+41+2+3+4 の階段を2つ組み合わせると、たて 44・横 55 の長方形。だから ∑k=14k=4×52=10\displaystyle\sum_{k=1}^{4}k=\frac{4\times5}{2}=10

Σk² の証明：(k+1)³−k³ を足す

恒等式 (k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 を、k=1, 2, …, nk=1,\ 2,\ \dots,\ n について書いて全部足します。

23−13=3⋅12+3⋅1+133−23=3⋅22+3⋅2+1  ⋮(n+1)3−n3=3n2+3n+1\begin{aligned}2^3-1^3&=3\cdot1^2+3\cdot1+1\\3^3-2^3&=3\cdot2^2+3\cdot2+1\\&\ \ \vdots\\(n+1)^3-n^3&=3n^2+3n+1\end{aligned}

左辺はとなりどうしが打ち消し合い、最初と最後だけが残ります（これを「望遠鏡和」ともいいます）。

(n+1)3−1=3∑k=1nk2+3⋅n(n+1)2+n(n+1)^3-1=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n

これを ∑k2\sum k^2 について解きます。

3∑k2=(n+1)3−1−3n(n+1)2−n=(n+1)3−(n+1)−3n(n+1)2=(n+1){(n+1)2−1−3n2}=(n+1)⋅2n2+n2=n(n+1)(2n+1)2\begin{aligned}3\sum k^2&=(n+1)^3-1-\frac{3n(n+1)}{2}-n\\&=(n+1)^3-(n+1)-\frac{3n(n+1)}{2}\\&=(n+1)\left\{(n+1)^2-1-\frac{3n}{2}\right\}=(n+1)\cdot\frac{2n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}\end{aligned}

両辺を3で割って ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}。

Σk³ の証明

同じように (k+1)4−k4=4k3+6k2+4k+1(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1 を足し合わせると導けます。図で見ると、次のような美しい関係になっています。

1³＝12³＝83³＝27合計36＝(1＋2＋3)²
13+23+331^3+2^3+3^3 は、1辺 1+2+3=61+2+3=6 の正方形にぴったり並ぶ

k3k^3 個の正方形が、1辺 1+2+⋯+k1+2+\cdots+k の正方形の「L字」の部分にちょうど入ります。だから 13+23+⋯+n3=(1+2+⋯+n)21^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2 です。

Σの性質

∑k=1n(ak+bk)=∑k=1nak+∑k=1nbk,∑k=1ncak=c∑k=1nak\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k,\qquad\sum_{k=1}^{n}ca_k=c\sum_{k=1}^{n}a_k

Σは足し算を分けたり、定数を前に出したりできます。ただし ∑akbk\sum a_kb_k を ∑ak×∑bk\sum a_k\times\sum b_k にしてはいけません。

大学受験（数学B）での使い方

大学受験

例題1（展開してΣ）

∑k=1n(2k−1)2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2 を求めなさい。

解き方

(2k−1)2=4k2−4k+1(2k-1)^2=4k^2-4k+1 なので、

4⋅n(n+1)(2n+1)6−4⋅n(n+1)2+n=n{2(n+1)(2n+1)−6(n+1)+3}3=n(4n2−1)34\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+n=\dfrac{n\{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3\}}{3}=\dfrac{n(4n^2-1)}{3}。

答え　n(2n−1)(2n+1)3\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

大学受験

例題2（数値）

12+22+⋯+2021^2+2^2+\cdots+20^2 を求めなさい。

解き方

20⋅21⋅416=2870\dfrac{20\cdot21\cdot41}{6}=2870。

答え　28702870

大学受験

例題3（部分分数分解）

∑k=1n1k(k+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} を求めなさい。

解き方

1k(k+1)=1k−1k+1\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} と分けると、となりどうしが消えて（望遠鏡和）、

(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\cdots+\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}。

答え　nn+1\dfrac{n}{n+1}

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

∑k2\sum k^2 を (∑k)2\left(\sum k\right)^2 にしてはだめだ。そうなるのは3乗の和だぞ。

  • ∑k2=(∑k)2\sum k^2=\left(\sum k\right)^2 としてしまう：2乗の和は1乗の和の2乗ではない（それが成り立つのは3乗の和）。
  • 定数のΣ：∑k=1n1=n\sum_{k=1}^{n}1=n（1ではない）。
  • 始まりが k=1k=1 でない：∑k=3n\sum_{k=3}^{n} なら、k=1, 2k=1,\ 2 の分を引く。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

定数のΣは nn 倍になるのも忘れずにね。

  1. 大学受験 ∑k=110k3\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k^3 を求めなさい。
    答えと解説を見る(10⋅112)2=552=3025\left(\dfrac{10\cdot11}{2}\right)^2=55^2=3025。答え 30253025
  2. 大学受験 ∑k=1n(3k+2)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k+2) を求めなさい。
    答えと解説を見る3⋅n(n+1)2+2n=n(3n+7)23\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+2n=\dfrac{n(3n+7)}{2}。答え n(3n+7)2\dfrac{n(3n+7)}{2}
  3. 大学受験 ∑k=1nk(k+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1) を求めなさい。
    答えと解説を見る∑k2+∑k=n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)3\sum k^2+\sum k=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}。答え n(n+1)(n+2)3\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}

関連する公式

よくある質問

Σk² の公式は？

k=1 から n までの k² の和は n(n+1)(2n+1)/6 です。

Σk³ の公式は？

{n(n+1)/2}² です。1から n までの和 n(n+1)/2 の2乗になります。

Σk² の公式はどう証明しますか？

(k+1)³−k³=3k²+3k+1 を k=1 から n まで足すと、左辺は (n+1)³−1 だけが残るので、そこから Σk² を求めます。

Σの記号の意味は？

Σ（シグマ）は「足し合わせる」という意味の記号で、Σ_{k=1}^{n} a_k は a₁ から aₙ までの和を表します。

Σの公式は何年生で習いますか？

高校の数学B「数列」で習います。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学B（数列）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦