群数列の解き方｜第n群の最後までの個数 n(n+1)/2・何群の何番目・奇数の群の和がn³になる証明と例題【中学受験〜大学受験】

うかるくん

何番目の数がどの群に入るのか、どうやって決めればいいの？

合格先生

第 $n$ 群の最後までの個数を式にしよう。その式ではさみうちにすれば、群が決まるぞ。

群数列の考え方

数列を、規則にしたがっていくつかずつの組（群）に区切ったものが群数列です。たとえば $1\,|\,1,\ 2\,|\,1,\ 2,\ 3\,|\,1,\ 2,\ 3,\ 4\,|\,\cdots$ は、第 $n$ 群に $1$ から $n$ までが並びます。

証明：第 n 群の最後までの個数

第 $k$ 群に $k$ 個あるので、第 $n$ 群の最後までの個数は $1+2+\cdots+n$。等差数列の和の公式で $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 個です。だから第 $n$ 群の最初の項は、全体の $\dfrac{(n-1)n}{2}+1$ 番目。

「全体の $N$ 番目がどの群か」は、$\dfrac{(n-1)n}{2}<N\le\dfrac{n(n+1)}{2}$ をみたす $n$ を探せば分かります。

奇数の群数列で、第 n 群の和が n³ になる理由

第 $n-1$ 群の最後までに奇数が $\dfrac{(n-1)n}{2}$ 個あるので、第 $n$ 群の最初は $2\times\dfrac{(n-1)n}{2}+1=n^2-n+1$。そこから $n$ 個の奇数の和は、等差数列の和で $\dfrac{n\{(n^2-n+1)+(n^2+n-1)\}}{2}=n^3$。

中学受験（算数）での使い方

大学受験（数学B）での使い方

よくある間違い

合格先生

第 $n$ 群の最初は「前の群の最後＋1」だ。最後と最初を取りちがえるな。

• 「第 $n$ 群の最後」と「最初」を取りちがえる：最初は「前の群の最後＋1」。
• 群の個数の和を数え直さない：表にして 1, 3, 6, 10 … と確かめる。

練習問題

うかるくん

まず第 $n$ 群に何個あるかを調べるんだね。

1. 中学受験 1, 1, 2, 1, 2, 3, … の30番目の数は？
   答えと解説を見る

   第7群までで28個。30番目は第8群の2番目。答え $2$
2. 大学受験 自然数を第 $n$ 群に $n$ 個ずつ区切るとき、第10群の最初の数は？
   答えと解説を見る

   第9群の最後は45。答え $46$
3. 大学受験 奇数を第 $n$ 群に $n$ 個ずつ区切るとき、第5群の和は？
   答えと解説を見る

   $5^3=125$（$21+23+25+27+29$）

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