この公式のポイント
- 三角数＝1から n までの和＝n×(n＋1)÷2
- 同じ三角形を逆さにくっつけると長方形 → 半分
- 四角数＝n×n＝奇数 n 個の和（L字に分ける）
- となり合う三角数の和は四角数
うかるくん
三角数って、なんで n×(n＋1)÷2 で求められるの？
合格先生
同じ三角形を逆さにくっつけると、たて n、よこ n＋1 の長方形になる。三角数はその半分だ。
三角数・四角数の公式
ご石を正三角形の形に並べたときの個数を三角数、正方形の形に並べたときの個数を四角数（平方数）といいます。
三角数・四角数
三角数：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …
四角数：1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …
となり合う2つの三角数を足すと四角数（例：6＋10＝16）
なぜ「n×(n＋1)÷2」になるのか
三角数は、1段目に1個、2段目に2個、…、n段目に n 個なので、1から n までの整数の和です。これを1つずつ足すのは大変です。
そこで、同じ三角形をもう1つ用意して、逆さにしてくっつけます。すると、たてが n 個、よこが n＋1 個の長方形になります。長方形のご石は n×(n＋1) 個で、三角形はその半分なので、n×(n＋1)÷2 個です。
四角数が「奇数の和」になるわけ
正方形に並べたご石を、左上からL字に分けていくと、1個、3個、5個、7個、…と2個ずつ増えます（たてに1個、よこに1個のびるから）。だから n×n は、1から始まる奇数を n 個足した数です。
また、正方形をななめに分けると、となり合う2つの三角数になります。だから「3番目の三角数＋4番目の三角数＝4番目の四角数」（6＋10＝16）です。
中学受験（算数）での使い方
例題1（三角数）
解き方
10番目の三角数です。10×(10＋1)÷2＝10×11÷2＝55（個）。
答え 55個
例題2（奇数の和）
解き方
1から19までの奇数は (19＋1)÷2＝10（個）。奇数を1から10個足すと四角数 10×10 になります。
答え 100
例題3（何段か求める）
解き方
段の数を n とすると、n×(n＋1)÷2＝210 なので n×(n＋1)＝420。
420 は 20×20＝400 に近いので、20×21＝420 を見つけます。n＝20。
答え 20段
よくある間違い
合格先生
n×(n＋1) のまま答えにしてはだめだ。それは三角形2つ分。最後に2でわるんだぞ。
- 2でわるのを忘れる：n×(n＋1) は三角形2つ分。三角数はその半分。
- 奇数の個数をまちがえる：1から19までの奇数は19個ではなく (19＋1)÷2＝10 個。
- 三角数と四角数を取りちがえる：三角数は 1, 3, 6, 10、四角数は 1, 4, 9, 16。
練習問題
サクラちゃん
ご石を思いうかべて、長方形を作ってみよう！
- 中学受験 15番目の三角数を求めなさい。
答えと解説を見る
15×16÷2＝120。答え 120 - 中学受験 1＋3＋5＋…＋39 を計算しなさい。
答えと解説を見る
奇数の個数は (39＋1)÷2＝20 個なので、20×20＝400。答え 400 - 中学受験 8番目の三角数と9番目の三角数の和を求めなさい。
答えと解説を見る
8×9÷2＝36、9×10÷2＝45 で、36＋45＝81。となり合う三角数の和なので 9×9＝81 と同じ。答え 81
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よくある質問
三角数とは？
ご石を正三角形の形に並べたときの個数で、1, 3, 6, 10, 15, … と続く数です。n番目は1からnまでの和です。
三角数の公式は？
n番目の三角数は n×(n+1)÷2 です。同じ三角形を逆さにくっつけると、たてn、よこn+1の長方形になるからです。
四角数とは？
ご石を正方形の形に並べたときの個数で、1, 4, 9, 16, … と続きます。n番目は n×n で、平方数ともいいます。
1+3+5+…の和の求め方は？
1から始まる奇数を n 個足すと n×n になります。1から19までなら奇数は10個なので100です。
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出典・参考
最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦
